Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

8.5. Уравнения совместности деформаций в приращениях в триортогональной
изостатической системе координат
175
(см. [47], с. 223)
∇ × (dP)=0, (8.5.1)
где тензор второго ранга dP есть транспонированный ротор приращения
тензора полных деформаций:
dP =(∇ × dε)
T
.
Заметим, что для тензора dP (в силу симметрии тензора dε) оказыва-
ется справедливой также следующая формула:
dP = −(dε) × ∇.
В этой записи пространственный оператор Гамильтона ∇ действует на объ-
ект, расположенный перед ним.
127
Для удобства обозначим через dS тензор второго ранга, определяемый
соотношением
dS = ∇ × (dε) × ∇. (8.5.2)
В этом уравнении безразличен порядок выполнения операции векторного
умножения. Тензор dS называется тензором несовместности.
128
Тензор несовместности dS симметричен:
dS =(dS)
T
(8.5.3)
и может быть вычислен также по формуле
−dS =((∇ · ∇)trdε − ∇ · (∇ · dε))I + ∇ ⊗ (∇ · dε)+
+(∇ ⊗ (∇ · dε))
T
− (∇ · ∇)dε − ∇ ⊗ ∇trdε.
(8.5.4)
Поскольку (∇×dε)
T
= −(dε×∇), dP =(∇×dε)
T
= −(dε)×∇, тензор
−dS в точности равен тензору ∇ ×dP. Следовательно, условия совместно-
сти деформаций в приращениях представляются тензорным уравнением
dS = 0. (8.5.5)
Условия совместности деформаций (8.5.5) являются необходимыми и (в
случае поверхностно односвязной области в пространстве) достаточными
для возможности представления поля dε в данной Коши форме
2dε =(∇ ⊗ du)+(∇ ⊗ du)
T
(8.5.6)
127
Что несколько затрудняет восприятие формул.
128
Дифференциальный оператор Ink ... = ∇ × (∇ × ...)
T
широко используется в теории дислока-
ций. Уравнение совместности для приращений тензора полных деформаций с использованием этого
оператора записывается просто как Ink dε = 0. Ясно, что
Ink dε = −dS.
Ю.Н. Радаев

Страницы