ВУЗ:
Составители:
8.4. Уравнения равновесия в приращениях главных напряжений 173
После ряда довольно сложных преобразований в итоге можно получить
следующее представление уравнения равновесия в приращениях ∇·(dσ)=
0 в триортогональных изостатических координатах:
d
1
dσ
1
+ κ
23
(dσ
1
− dσ
2
)+κ
32
(dσ
1
− dσ
3
)+(2κ
13
+ κ
31
+ d
2
)[(σ
1
− σ
2
)dω
3
]+
+(2κ
12
+ κ
21
+ d
3
)[(σ
3
− σ
1
)dω
2
]=0,
d
2
dσ
2
+ κ
31
(dσ
2
− dσ
3
)+κ
13
(dσ
2
− dσ
1
)+(2κ
23
+ κ
32
+ d
1
)[(σ
1
− σ
2
)dω
3
]+
+(2κ
21
+ κ
12
+ d
3
)[(σ
2
− σ
3
)dω
1
]=0,
d
3
dσ
3
+ κ
12
(dσ
3
− dσ
1
)+κ
21
(dσ
3
− dσ
2
)+(2κ
32
+ κ
23
+ d
1
)[(σ
3
− σ
1
)dω
2
]+
+(2κ
31
+ κ
13
+ d
2
)[(σ
2
− σ
3
)dω
1
]=0.
(8.4.5)
Второе и третье уравнения получаются из первого путем циклической
перестановки индексов.
При догружении вдоль ребра σ
1
= σ
2
= σ
3
− 2k приведенные выше
уравнения несколько упрощаются
d
1
dσ
3
+2k(2κ
12
+ κ
21
+ d
3
)dω
2
=0,
d
2
dσ
3
− 2k(2κ
21
+ κ
12
+ d
3
)dω
1
=0,
d
3
dσ
3
+2k(2κ
32
+ κ
23
+ d
1
)dω
2
− 2k(2κ
31
+ κ
13
+ d
2
)dω
1
=0,
(8.4.6)
образуя замкнутую систему относительно приращений dω
1
, dω
2
, dσ
3
.
Характеристическое уравнение системы (8.4.6) есть
0 N
<3>
N
<1>
−N
<3>
0 N
<2>
−N
<2>
N
<1>
N
<3>
=0,
где N
<j>
— физические компоненты единичного вектора нормали к харак-
теристической поверхности относительно базиса l, m, n. При условии N
2
<1>
+
N
2
<2>
+ N
2
<3>
=1оно имеет три корня N
<3>
=0, N
<3>
=1/
√
2, N
<3>
=
−1/
√
2,т.е.система(8.4.6) принадлежит к гиперболическому типу, направ-
ления, ортогональные третьей главной оси напряжений, — указывают нор-
мали к характеристическим поверхностным элементам, а остальные норма-
ли к характеристическим площадкам расположены на конусе с углом полу-
раствора π/4 и осью, направленной вдоль третьей главной оси напряжений.
Следовательно, система уравнений в приращениях имеет точно такие же
характеристические поверхностные элементы, как и система (1.2.8).
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- …
- следующая ›
- последняя »
