Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

8.4. Уравнения равновесия в приращениях главных напряжений 171
приходим к деривационным соотношениям
Γ
γ
αβ
Γ
λ
γµ
− Γ
γ
αµ
Γ
λ
γβ
+
∂
∂ξ
µ
Γ
λ
αβ
−
∂
∂ξ
β
Γ
λ
αµ
=0.
В трехмерном пространстве из них получается шесть не тождественно ну-
левых соотношений (см. [50], с. 33, или [51], p. 649). Это соотношения вида
∂
∂ξ
3
1
√
g
33
∂
√
g
11
∂ξ
3
+
∂
∂ξ
1
1
√
g
11
∂
√
g
33
∂ξ
1
+
1
g
22
∂
√
g
33
∂ξ
2
∂
√
g
11
∂ξ
2
=0
и вида
∂
2
√
g
11
∂ξ
2
∂ξ
3
=
1
√
g
22
∂
√
g
11
∂ξ
2
∂
√
g
22
∂ξ
3
+
1
√
g
33
∂
√
g
11
∂ξ
3
∂
√
g
33
∂ξ
2
и соотношения, получающиеся из написанных путем циклической переста-
новки индексов.
Полученные ранее формулы (8.2.2)и(8.2.6) позволяют ввести в дери-
вационные формулы кривизны κ
ij
и получить шесть деривационных урав-
нений
d
1
κ
32
+ d
3
κ
12
+ κ
2
32
+ κ
2
12
+ κ
13
κ
31
=0,d
2
κ
12
= κ
13
(κ
21
− κ
12
),
d
1
κ
23
+ d
2
κ
13
+ κ
2
23
+ κ
2
13
+ κ
21
κ
12
=0,d
3
κ
23
= κ
21
(κ
32
− κ
23
),
d
1
κ
31
+ d
3
κ
21
+ κ
2
31
+ κ
2
21
+ κ
32
κ
23
=0,d
1
κ
31
= κ
32
(κ
13
− κ
31
).
(8.3.2)
Заметим, что три уравнения справа из группы деривационных соот-
ношений (8.3.2) могут быть также представлены в иной форме. Не оста-
навливаясь на деталях, приведем альтернативный вариант деривационных
формул:
d
1
κ
32
+ d
3
κ
12
+ κ
2
32
+ κ
2
12
+ κ
13
κ
31
=0,d
3
κ
13
= κ
12
(κ
31
− κ
13
),
d
1
κ
23
+ d
2
κ
13
+ κ
2
23
+ κ
2
13
+ κ
21
κ
12
=0,d
1
κ
21
= κ
23
(κ
12
− κ
21
),
d
1
κ
31
+ d
3
κ
21
+ κ
2
31
+ κ
2
21
+ κ
32
κ
23
=0,d
2
κ
32
= κ
31
(κ
23
− κ
32
).
(8.3.3)
8.4. Уравнения равновесия в приращениях главных на-
пряжений
Рассмотрим далее уравнения вдоль линий главных напряжений, обра-
зующих триортогональную координатную сетку, для действительных при-
ращений главных напряжений dσ
i
при малом догружении. Эти уравнения
представляют значительный интерес при численном анализе развития пла-
стических зон в процессе нагружения.
Ю.Н. Радаев

Страницы