Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

172
Глава 8. Трехмерные уравнения математической теории пластичности в
триортогональных изостатических координатах
Уравнение равновесия для приращений напряжений
∇ · (dσ)=0
необходимо представить в триортогональных изостатических координатах.
Для этого требуется продифференцировать спектральное разложение тен-
зора напряжений (1.2.1) вдоль процесса нагружения. Ясно, что базис l, m,
n поворачивается в процессе нагружения.
С целью описания поворота главных осей напряжений l, m, n при малом
догружении введем аксиальный вектор dω такой, что
dl = dω × l,dm = dω × m,dn = dω × n. (8.4.1)
Разложим вектор dω по ортонормированному собственному локально-
му базису тензора напряжений l, m, n:
dω = ldω
1
+ mdω
2
+ ndω
3
. (8.4.2)
Здесь используется более простое обозначение dω
j
величины вместо dω
<j>
для сокращения записи уравнений. Величины dω
j
не являются действи-
тельными приращениями.
Изменение ориентаций базисных векторов на основании (8.4.1)и(8.4.2)
вычисляется как
dl = −ndω
2
+ mdω
3
,dm = ndω
1
− ldω
3
,dn = −mdω
1
+ ldω
2
. (8.4.3)
Дифференцируя спектральное разложение тензора напряжений (1.2.1)
вдоль процесса нагружения и учитывая (8.4.3), получим
dσ = l ⊗ ldσ
1
+ m ⊗ mdσ
2
+ n ⊗ ndσ
3
+ l ⊗ m(σ
1
− σ
2
)dω
3
+
+l ⊗ n(σ
3
− σ
1
)dω
2
+ m ⊗ l(σ
1
− σ
2
)dω
3
+
+m ⊗ n(σ
2
− σ
3
)dω
1
+ n ⊗ l(σ
3
− σ
1
)dω
2
+
+n ⊗ m(σ
2
− σ
3
)dω
1
.
(8.4.4)
Для дальнейших преобразований будем использовать следующие типич-
ные формулы вида:
∇ · (ϕl ⊗ l)=l
∂ϕ
∂l
+ ϕl(∇ · l)+ϕ(l · ∇)l,
∇ · (ϕl ⊗ n)=n
∂ϕ
∂l
+ ϕn(∇ · l)+ϕ(l · ∇)n,
атакже(8.2.4)и(8.2.5).
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы