Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

8.5. Уравнения совместности деформаций в приращениях в триортогональной
изостатической системе координат
179
Ясно, что главные оси тензора dS ориентированы, вообще говоря, не
так, как главные оси тензора напряжений. Поэтому преобразование урав
нения (8.5.7) к главным осям напряжений следует проводить по схеме, из
ложенной в разделе 8.4.
В триортогональной изостатической координатной сетке уравнение (8.5.7)
приобретает форму
d
1
dS
<11>
+ κ
23
(dS
<11>
− dS
<22>
)+κ
32
(dS
<11>
− dS
<33>
)+
+(2κ
13
+ κ
31
+ d
2
)dS
<12>
+(2κ
12
+ κ
21
+ d
3
)dS
<13>
=0,
d
2
dS
<22>
+ κ
31
(dS
<22>
− dS
<33>
)+κ
13
(dS
<22>
− dS
<11>
)+
+(2κ
23
+ κ
32
+ d
1
)dS
<21>
+(2κ
21
+ κ
12
+ d
3
)dS
<23>
=0,
d
3
dS
<33>
+ κ
12
(dS
<33>
− dS
<11>
)+κ
21
(dS
<33>
− dS
<22>
)+
+(2κ
32
+ κ
23
+ d
1
)dS
<31>
+(2κ
31
+ κ
13
+ d
2
)dS
<32>
=0,
(8.5.8)
где dS
<ij>
есть по-прежнему физические компоненты тензора dS в три
ортогональной изостатической системе координат. Здесь еще необходимо
учесть симметрию тензора несовместности dS: dS
<ij>
= dS
<ji>
.
3. Уравнения совместности в триортогональной изостатической
сетке (случай ”3/3-соосности” тензора напряжений σ и тензора
приращений пластических деформаций dε
P
)
Разложим приращение полной деформации на упругую и пластическую
составляющие
dε = dε
E
+ dε
P
. (8.5.9)
Согласно соотношениям ассоциированного закона течения, приращение
пластических деформаций есть тензор, соосный тензору напряжений, что
оказывается, вообще говоря, неверным для приращения тензора упругих
деформаций. Ясно поэтому, что преобразование уравнений совместности
деформаций к главным осям напряжений проще всего осуществляется в
том случае, когда упругими деформациями можно пренебречь и триэдр l,
m, n будет также и триэдром, указывающим главные направления тензора
dε:
dε = l ⊗ ldε
1
+ m ⊗ mdε
2
+ n ⊗ ndε
3
.
Мы поэтому сначала рассмотрим этот наиболее простой случай, не опи
раясь при этом на приведенные ранее общие формулы для физических
компонент тензора dS, а производя непосредственный расчет дифференци
альных операторов, фигурирующих в (8.5.2).
Инвариантное представление уравнений совместности для главных приращений де-
формаций (приращениями упругих деформаций будем пренебрегать) имеет вид:
∇ × (∇ × (l ⊗ldε
1
+ m ⊗ mdε
2
+ n ⊗ ndε
3
))
T
= 0. (8.5.10)
Ю.Н. Радаев

Страницы