ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
ТЕМА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
ФУНКЦИЙ И ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Необходимость в применении интерполяции функций возникает в
различных задачах при построении характеристик устройств, элементов,
процессов по результатам их экспериментального исследования или расчета
в отдельных точках , при использовании характеристик в такой форме для
дальнейшего анализа. Численное дифференцирование функций также
используется в качестве основной или вспомогательной процедуры при
решении ряда задач радиофизики и электроники. К ним относятся, например,
определение дифференциальных параметров устройств и их элементов:
крутизны характеристик , проводимостей и сопротивлений переменному току
и т.д.
Задача интерполяции заключается в следующем: На отрезке [a,b]
заданы n+1 точки (узлы интерполяции): x
i
(i=0,n) и значения некоторой
функции y
i
= f(x
i
) в этих точках . Требуется построить алгебраический
многочлен степени n: P
n
(x) = a
0
+ a
1
x + … + a
n
x
n
, принимающий в узлах
те же значения, что и f(x). Интерполяционный многочлен P
n
(x) может быть
записан различными способами [I –4,13-20] . Рассмотрим некоторые из них .
Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид
)x(ly (x)P
i
n
0i
in
⋅=
∑
=
, (1.1)
где )xx()xx()x(l
ki
n
ik,0k
ki
−⋅−=
∏
≠=
. (1.2)
Из (I.I) и (1.2) видно, что P
n
(x
i
) = y
i
, так как
)xxxпри(0)x(l
),xxпри(1)x(l
iki
ii
≠==
=
=
.
Погрешность интерполяции оценивается выражением
)!1n/()xx)...(xx()xx(M)x(P)x(f)x(R
n101nn
+−−⋅−≤−=
+
.
Здесь
]b,a[x,)x(fmaxM
)1n(
1n
∈=
+
+
.
Интерполяция по Лагранжу является глобальной. Поэтому добавление еще
одного узла интерполяции требует пересчета всех функций.
Интерполяционным многочленом Ньютона называется полином
3
Т Е М А 1. М О Д Е ЛИ РО В А Н И Е Н А О СН О В Е И Н Т Е РП О ЛЯ Ц И И
Ф У Н К Ц И Й И Ч И СЛЕ Н Н О ГО Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И РО В А Н И Я
Н еобх од имос т ь в применении инт ерполяции ф унк ций возник ает в
различных зад ачах при пос т роении х арак т ерис т ик ус т ройс т в, эле мент ов,
процес с ов по резуль т ат ам их эк с перимент аль ного ис с лед ования или рас чет а
в от д ель ных т очк ах , при ис поль зовании х арак т ерис т ик в т ак ой ф орме д ля
д аль нейш его анализа. Ч ис ле нное д иф ф еренцирование ф унк ций т ак же
ис поль зует с я в к ачес т ве ос новной или вс помогат ель ной процед уры при
реш ении ряд а зад ачрад иоф изик и и элек т роник и. К ним от нос ят с я, например,
опред еление д иф ф еренциаль ных парамет ров ус т ройс т в и их элемент ов:
к рут изны х арак т ерис т ик , провод имос т ей и с опрот ивлений переменному т ок у
и т .д .
Задача ин терпол яции зак лю чает с я в с лед ую щ ем : Н а от резк е [a,b]
зад аны n+1 т очк и (узлы инт ерполяции): xi (i=0,n) и значения нек от орой
ф унк ции yi = f(xi) в эт их т очк ах . Требует с я пос т роит ь алгебраичес к ий
многочлен с т е пени n: Pn (x) = a0 + a1 x + … + anxn , принимаю щ ий в узлах
т е же значения, чт о и f(x). Инт ерполяционный м ногочлен Pn(x) может быт ь
запис ан различным и с пос обами [I –4,13-20] . Рас с мот рим нек от орые из них .
Инт ерполяционный м ногочлен Лагранжа имеет вид
n
Pn (x) = ∑ y i ⋅ l i ( x) , (1.1)
i= 0
n
гд е l i (x) = ∏ ( x − x k ) ⋅ (x i − x k ) . (1.2)
k =0,k ≠ i
Из (I.I) и (1.2) вид но, чт о Pn (xi) = yi , т ак к ак
l i ( x ) = 1 (при x = x i ),
.
l i ( x ) = 0 (при x = xk ≠ x i )
Погреш нос т ь инт ерполяции оценивает с я выражением
R(x ) = f ( x) − Pn (x) ≤ M n +1 (x − x 0 ) ⋅ (x − x1 )...(x − x n ) /(n + 1)!.
Зд ес ь M n +1 = max f (n +1) ( x) , x ∈ [a, b ] .
Инт ерполяция по Лагранжу являет с я глобаль ной. Поэт ому д обавление ещ е
од ного узла инт ерполяции т ребует перес чет а вс ех ф унк ций.
Инт ерполяционным м ногочленом Н ь ю т она называет с я полином
