Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
)x,...x,x(f)xx)...(xx()xx(
...)x,x,x(f)xx()xx()x,x(f)xx()x(f)x(P
n101n10
210101000n
⋅−−⋅−+
+
⋅
−
⋅
−
+
⋅
−
+
=
−
, (1.3)
где )xx/()x...x,x(f)x,...x,x(f)x,...x,x(f
0k1k10k21k10
−−=
−
-
разделенная разность k -ого порядка. Если шаг интерполяции h=x
i
– x
i-1-
постоянен, то формулу (1.3) удобно переписать либо в виде первой
интерполяционной формулы Ньютона (интерполяция вперед)
!n
y
h
)xx)...(xx)(xx(
...
!2
y
h
)xx)(xx(
!1
y
h
xx
y)x(P
0
n
n
1n10
0
2
2
1000
0n
∆
⋅
−−−
+
+
∆
⋅
−−
+
∆
⋅
−
+=
−
, (1.4)
либо в виде второй интерполяционной формулы (интерполяция назад )
!n
y
h
)xx)...(xx)(xx(
...
!2
y
h
)xx)(xx(
!1
y
h
xx
y)x(P
0
n
n
01nn
2n
2
2
1nn1nn
nn
∆
⋅
−−−
+
+
∆
⋅
−−
+
∆
⋅
−
+=
−
−−−
, (1.5)
где
i1ii
yyy
−
=
∆
+
- конечная разность первого порядка,
i
1k
1i
1k
i
k
yyy
−
+
−
∆−∆=∆ - конечная разность k-ого порядка.
Частными случаями формул (1.4) являются:
1.Линейная интерполяция
;ypy)x(P
001
∆
+
=
010
yyy
−
=
∆
. (1.6)
2. Квадратичная интерполяция
0120
2
0
2
002
yy2yy,
2
y
)1p(pypy)x(P +−=∆
∆
⋅−+∆+= . (1.7)
Здесь p = (x-x
0
)/h .
В отличие от интерполяции по Лагранжу полином Ньютона при
добавлении новой точки не требует пересчета всего многочлена, а
выделяется добавочное слагаемое, поэтому при интерполяции по Ньютону
варьируя число узлов интерполяции, легко менять точность аппроксимации
функции f(x) полиномом P
n
(x) .
Задача численного дифференцирования заключается в следующем:
На заданном интервале [a,b] исследуемая функция y = f(x) заменяется
функцией P
n
(x) при совпадении значений f(x) и P
n
(x) в узлах .
Предполагается равенство производных f
(к)
(x) = P
(к)
n
(x). 
                                                            4

   Pn ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x0 ) ⋅ f ( x 0 , x1 ) + ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ f ( x 0 , x1 , x 2 ) + ...
                                                                                                                   ,   (1.3)
   + ( x − x 0 ) ⋅ ( x − x1 )...( x − x n − 1 ) ⋅ f ( x 0 , x1 ,...xn )



гд е f ( x 0 , x 1 ,... x k ) = f ( x 1 , x 2 ,... x k ) − f ( x 0 , x 1 ... x k −1 ) /( x k − x 0 ) -
разд еленная разнос т ь k -ого поряд к а. Ес ли ш аг инт ерполяции h=xi – xi-1-
пос т оянен, т о ф ормулу (1.3) уд обно перепис ат ь либо в вид е первой
инт ерполяционной ф ормулы Н ь ю т она (инт ерполяция вперед )
                                  x − x 0 ∆y 0 ( x − x 0 )( x − x 1 ) ∆2 y 0
              Pn ( x) = y 0 +               ⋅        +                           ⋅         + ...
                                     h         1!                h2                  2!
                                                                                                   ,          (1.4)
                 ( x − x 0 )( x − x 1 )...(x − x n −1 ) ∆ y 0  n
              +                                            ⋅
                                   hn                          n!
либо в вид е вт орой инт ерполяционной ф ормулы (инт ерполяция назад )
                                     x − x n ∆y n −1 ( x − x n )( x − x n −1 ) ∆2 y n − 2
                  Pn ( x) = y n +               ⋅            +                            ⋅           + ...
                                         h           1!                   h2                    2!
                                                                                                            , (1.5)
                     ( x − x n )( x − x n−1 )...( x − x 0 ) ∆n y 0
                  +                                            ⋅
                                      hn                          n!
гд е      ∆y i = y i +1 − y i                   -        к онечная разнос т ь первого поряд к а,
          ∆k y i = ∆k −1 y i +1 − ∆k − 1y i -     к онечная разнос т ь k-ого поряд к а.
   Ч ас т ным и с лучаями ф ормул (1.4) являю т с я:
1.Линейная инт ерполяция
             P1 (x) = y 0 + p∆y 0 ;           ∆y 0 = y 1 − y 0            .             (1.6)
2. Квад рат ичная инт ерполяция
                                                            ∆2 y 0 2
               P2 ( x ) = y 0 + p∆y 0 + p( p − 1) ⋅               , ∆ y 0 = y 2 − 2y 1 + y 0                   .       (1.7)
                                                              2
Зд ес ь p = (x-x0)/h .
      В от личие от инт ерполяции по Лагранжу полином Н ь ю т она при
д обавлении новой т очк и не т ребует перес чет а вс его многочлена, а
выд еляет с я д обавочное с лагаемое, поэт ому при инт ерполяции по Н ь ю т ону
варь ируя чис ло узлов инт ерполяции, легк о менят ь т очнос т ь аппрок с имации
ф унк ции f(x) полиномом         Pn(x) .


     Задача числ ен н ого дифферен циров ан ия зак лю чает с я в с лед ую щ ем :
Н а зад анном инт ервале [a,b] ис с лед уемая ф унк ция y = f(x)   заменяет с я
ф унк цией Pn(x) при с овпад е нии значений f(x)         и   Pn(x)   в узлах .
                                            (к)      (к)
Пред полагает с я равенс т во производ ных f (x) = P n (x).

Страницы