Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 5 стр.

                                                       5

        В завис имос т и от вид а Pn(x) применяю т с я различные ф орм улы
чис ленного д иф ф еренцирования: ф ормулы Н ь ю т она, Лагранжа, Ст ирлинга,
Ричард с она и Ромберга (на ос нове с оот вет с т вую щ их инт ерполяционных
с оот нош ений) и т .д . Вывод ф ормул с од ержит с я в [1-4,13-20]. Выбор
к онк рет ной ф ормулы д ля чис ленного д иф ф еренцирования ос ущ ес т вляет с я в
с оот вет с т вии с необх од имой т очнос т ь ю резуль т ат а, т очнос т ь ю зад ания
ис х од ных д анных и вид ом f(x).
     Привед ем получивш ие ш ирок ое рас прос т ранение с оот нош ения на ос нове
инт ерполяции по ф ормулам Лагранжа (1.1).
1. Д иф ф еренцирование ф унк ции, зад анной т аблицей, по т рем
равноот с т оящ им т очк ам x-1 , x0, x1 (к вад рат ичная инт ерполяция) [19]:
           1     1                     1 
  f ′( x) =  p − y − 1 − 2py 0 +  p + y 1  .                               (1.8)
           h     2                     2 
В(2.1): h = x1 - x0 = x0 - x –1 , p=(x1 - x0 )/h.
2. Д иф ф еренцирование ф унк ции, зад анной                              т аблицей,           по   чет ырем
равноот с т оящ им т очк ам x-1 , x0, x1,x2 [19]:

            1 
                1
                 6
                       (              ) 1
                                                   (
                − 3р 2 − 6p + 2 y −1 + 3p 2 − 4p − 1 y 0
                                        2
                                                                  )        
                                                                          −
  f ′( x ) =                                                                        .                (1.9)
            h 1
               2
                       (              )1
                                               (
                − 3p 2 − 2p − 2 y 1 + 3p 2 − 1 y 2
                                       6
                                                            )              
                                                                           


3. Д иф ф еренцирование в                   узлах          ф унк ции,       зад анной          т аблицей      в
неравноот с т оящ их т очк ах :

            y 2 − y1 y 3 − y1 y 3 − y 2
f ′( x i ) =         +         −                                                при       i=1,
             x 2 − x1 x 3 − x1 x 3 − x 2
            y − y i−1 y i +1 − y i y i +1 − y i −1
f ′( x i ) = i         +            −                                           при       i=2,3… n-1,
             xi − xi−1 xi +1 − xi xi +1 − xi −1
            y − y n −1 y n − y n − 2 y n − 1 − y n − 2
f ′( x i ) = n         +             −                                      при           i=n.       (1.10)
            xn − xn −1 xn − xn − 2 x n − 1 − x n − 2


     При зад ании инт ерполяционного полинома в ф орме Н ь ю т она (1.4) легк о
запис ат ь выражения д ля т рех первых производ ных ф унк ции f(x)
           1
           h
                    1
                    2
                                     1
                                     6
                                               (                
                                                                
                                                                  )
 f ′( x ) =  ∆y 0 + (2p − 1)∆2 y 0 + 3p 2 − 6p + 2 ∆3 y 0 + ... ,



f ′′( x) =
                1  2
                 2 
               h 
                     ∆ y 0 + (p − 1)∆3 y 0 +
                                              1
                                             12
                                               (                      )     
                                                6p 2 − 18p + 11 ∆4 y 0 + ...
                                                                            
                                                                                           ,