Логика. Радько О.Ю. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

7. ЗАКОНЫ ДИСТРИБУТИВНОСТИ: ))(()( BACACBA ∨∨
=
∨ ;
))(()( CABABCA ∨∨
=
∨ .
8. ЗАКОНЫ ПОГЛОЩЕНИЯ:
BACAAACAA ∨=∨=∨ )(;)(
.
9. ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА:
BAABBABA ∨==∨ ;
.
10. СВЯЗЬ КОНЪЮНКЦИИ, ДИЗЪЮНКЦИИ, ИМПЛИКАЦИИ И ОТРИЦАНИЯ:
BABA =∨
.
11.
BABA →=∨
.
12.
B
A
A
B ∨=
.
13.
BAAB →= .
14.
BABA ∨=→
.
15.
BABA =→
.
Например, докажем, что, например, формулы
BABA =∨
и BABA ∨=→ являются тождественно ис-
тинными (тавтологиями), построив для их левых и правых частей таблицы истинности и используя табличные
определения основных логических операций:
BABA =∨
A
B B
A
∨
B
A ∨
A
B
BA
0 0 0
1
1 1
1
0 1 1
0
1 0
0
1 0 1
0
0 1
0
1 1 1
0
0 0
0
В четвёртом и седьмом столбцах полученной таблицы содержаться истинностные значения, соответст-
вующие левой и правой частям рассматриваемой формулы, и принимаемые этими выражениями значения оди-
наковы для всех наборов простых переменных, входящих в состав сложного высказывания. Значит, данная
формула является тавтологией.
Рассмотрим, как применяются некоторые из основных равносильностей алгебры высказываний для реше-
ния задач.
Задача. В замке есть две комнаты, в каждой из которых может находиться либо тигр, либо принцес-
са. На дверях комнат имеются таблички следующего содержания: табличка I – «По крайней мере в одной
из комнат находится принцесса»; табличка II – «Принцесса находится в другой комнате».
Если в первой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке I истинно, если тигр – то ложно.
Для второй комнаты наоборот, если там находится принцесса, то утверждение на табличке II ложно, а если там
находится тигр – то это утверждение истинно. Определить, в какой из комнат находится принцесса.
Решение. Введём обозначения для простых высказываний, необходимые для формализации условия зада-
чи, обозначив соответственно через П1 высказывание «Принцесса находится в первой комнате», через П2 –
высказывание «Принцесса находиться во второй комнате», тогда высказывание «Тигр находится в первой ком-
нате» есть отрицание переменной П1, а высказывание «Тигр находится во второй комнате» – отрицание выска-
зывания П2.
Тогда надпись на первой двери (обозначим это сложное суждение через А) можно представить в виде
конъюнкции высказываний П1 и П2 (А = П1 ∨ П2), а надпись на второй двери (обозначим его через В) совпада-
ет с высказыванием П1, т.е. В = П1.
Учитывая условие, что при нахождении в первой комнате принцессы утверждение на табличке I истинно,
если тигра, то ложно, а для второй комнаты при нахождении в ней принцессы утверждение на табличке II лож-
но, нахождения в ней тигра это утверждение истинно, получим в формализованном виде следующую запись
условия нашей задачи:
(П1 * А ∨ ¬П1 * ¬А) * (П2 * ¬В ∨ ¬П2 * В) =
= (П1 * (П1 ∨ П2) ∨ ¬П1 * ¬(П1 ∨ П2))(П2 * ¬П1 ∨ ¬П2 * П1) =
= П1 * ¬П2.
1. П1 * (П1 ∨ П2) ∨ ¬П1 * ¬(П1 ∨ П2) =
= П1 * П2 ∨ П1 ∨ ¬П1 * ¬П1 * ¬П2 =
= П1 * П2 ∨ П1 ∨ ¬П1 * ¬П2 = П1 ∨ ¬П2;
2. (П2 * ¬П1 ∨ ¬П2 * П1) * (П1 ∨ ¬П2) =

Страницы