ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
Первообразная функция и неопределенный интеграл
Отыскание функции F(x) по известному её дифференциалу
dF(x)=f(x)dx [или по известной её производной F’(x)=f(x)], т.е. действие об-
ратное дифференцированию, называется интегрированием, а искомая функ-
ция F(x) называется первообразной функцией от функции f(x).
Всякая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество раз-
личных первообразных функций, которые отличаются друг от друга посто
-
янным слагаемым. Если F(x) есть первообразная от f(x), т.е. если F’(x)=f(x),
то и F(x)+C, где C – произвольная постоянная, есть также первообразная от
f(x), так как (F(x)+C)’=F’(x)=f(x).
Общее выражение F(x)+C совокупности всех первообразных от функ-
ции f(x) называют неопределенным интегралом от этой функции и обознача-
ют
∫
+= CxFdxxf )()( .
Свойства неопределенного интеграла.
I. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
∫
∫
= dxxfadxxaf )()( .
II. Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых
∫
∫
∫
+=+ dxxfdxxfdxxfxf )()()]()([
2121
.
III.
)(])([ xfdxxf
dx
d
=
∫
или
dxxfdxxfd )()( =
∫
.
IV.
∫
+= CxFdxxF )()(' или
∫
+= CxFxdF )()( .
Основные формулы интегрирования.
1.
∫
−≠+
+
=
+
1 ,
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
.
В частности,
∫
+= Cxdx
1.*
∫
−≠+
+
=
+
1 ,
1
)(
)()(
1
nC
n
xu
xduxu
n
n
В частности,
∫
+= Cxuxdu )()(
2.
∫
+= Cx
x
dx
ln
2.*
∫
+= Cxu
xu
xdu
)(ln
)(
)(
3.
∫
+= Cedxe
xx
3.*
∫
+= Cexdue
xuxu )()(
)(
4.
∫
+= C
a
a
dxa
x
x
ln
4.*
∫
+= C
a
a
xdua
xu
xu
ln
)(
)(
)(
5.
∫
+−= Cxxdx cossin
5.*
∫
+−= Cxuxduxu )(cos)()(sin
6.
∫
+= Cxxdx sincos
6.*
∫
+= Cxuxduxu )(sin)()(cos
7.
∫
+= Ctgxdx
x
2
cos
1
7.*
∫
+= Cxtguxdu
xu
)()(
)(cos
1
2
8.
∫
+−= Cctgxdx
x
2
sin
1
8.*
∫
+−= Cxuctgxdu
xu
)( )(
)(sin
1
2
9.
∫
+= Cchxshxdx
9.*
∫
+= Cxuchxduxush )( )()(
