Составители:
Рубрика:
62
Дифференциальное уравнение
первого порядка
: F(x; y; y′)=0
С разделяющими переменными:
odyyxfdxyxf =
+
)()()()(
2211
ϕ
ϕ
.
Решение:
∫∫
−= dy
y
y
dx
x
f
xf
)
(
)(
)
(
)(
1
2
2
1
ϕ
ϕ
.
Однородное:
0);();(
=
+ dyyxQdxyxP
Замена
tx
y
=
,
xdttdxdy +=
.
В полных дифференциалах:
0);();(
=
+
dyyxQdxyxP .
Если
x
Q
y
P
∂
∂
≠
∂
∂
,
то находим
∫
=
∂
∂
−
∂
∂
dx
Q
x
Q
y
P
et
или
∫
=
∂
∂
−
∂
∂
dy
P
y
P
x
Q
et
.
Если
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
,
то находим
∫
+= )();( yCdxyxPu ,
затем
);( yxQ
y
u
=
∂
∂
.
Вычисляем С(у) и
по
д
ставляем в u.
Приводящее к однородным:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
=
′
222
111
cybxa
cybxa
fy
.
Если
0
22
11
≠
ba
ba
, то замена
⎩
⎨
⎧
+=
+=
,
,
β
α
vy
ux
где
(
)
β
α
;
точка пересечения прямых:
⎩
⎨
⎧
=++
=++
.0
,0
222
111
cybxa
cybxa
Если
0
22
11
=
ba
ba
,
тогда замена:
tybxa
=
+
11
и
1
1
1
1
b
a
t
b
y +
′
=
′
Линейные:
)()( xqyxpy
=
+
′
.
Метод Бернулли.
Замена:
vu
y
⋅
= ,
uvvuy
′
+
′
=
′
.
Затем создаем сис-
тему:
⎩
⎨
⎧
=
′
=+
′
)(
,0)(
xqvu
vxpv
и решаем.
Метод Лагранжа.
Решаем уравнение:
.0)(
=
+
′
yxpy Получаем
∫
=
− dxxP
exCy
)(
)(
. Нахо-
дим
y
′
и подставляем в ис-
ходное уравнение. Вычис-
ляем С(х) и подставляем
полученный у.
Уравнение y = f(y’) или
x = f(y’).
Замена:
py
=
′
.
После подстановки по-
лучаем:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
′
=
∫
)(
)(
pfy
Cdp
p
pf
x
.
Уравнение Клеро:
)( yyxy
′
+
′
⋅=
ψ
. Замена
py =
′
. После подстановки
получаем:
⎩
⎨
⎧
+⋅=
=
′
+
)(
,0)(
ppxy
px
ϕ
ϕ
.
Уравнение Дарбу
0))(;();();( =
−
+
+
ydxxdyyxPdyyxNdxyxM
Замена
x
zy
⋅
=
.
Уравнения не разре-
шенные
относительно
п
ро
и
з
в
о
д
н
о
й
Уравнение Лагранжа:
)()( yyxy
′
+
′
⋅=
ψ
ϕ
. Под-
становка
p = y’ . Полу-
чаем:
⎩
⎨
⎧
+=
=
)()(
),(
ppxfy
CpFx
ϕ
С разделяющими переменными: Дифференциальное уравнение В полных дифференциалах:
f1 ( x)ϕ1 ( y )dx + f 2 ( x)ϕ 2 ( y )dy = o . первого порядка: F(x; y; y′)=0 P ( x; y )dx + Q( x; y )dy = 0 .
f1 ( x) ϕ2 ( y)
Решение: ∫ f ( x) dx = −∫ ϕ ( y) dy .
2 1
∂P ∂Q ∂P ∂Q
Приводящее к однородным: Если = , Если ≠ ,
∂y ∂x ∂y ∂x
⎛ a x + b1 y + c1 ⎞
Однородное: P( x; y )dx + Q( x; y )dy = 0 y′ = f ⎜⎜ 1 ⎟⎟ . то находим то находим
⎝ a2 x + b2 y + c2 ⎠ ∂P ∂Q
Замена y = tx , dy = tdx + xdt . u = ∫ P ( x; y )dx + C ( y ) , ∂y
−
∂x
∫ dx
∂u t = e Q
затем = Q( x; y ) .
a1 b1 ∂y или
a1 b1 ⎧x = u + α, Если = 0, ∂Q ∂P
Если ≠ 0 , то замена ⎨ где (α ; β ) a2 b2 Вычисляем С(у) и −
∂x ∂y
a2 b2 ⎩y = v + β , тогда замена: подставляем в u. ∫ dy
t =e P
.
⎧ a x + b1 y + c1 = 0, a1 x + b1 y = t и
точка пересечения прямых: ⎨ 1
⎩a2 x + b2 y + c2 = 0. 1 a Линейные:
y′ = t′ + 1 Метод Лагранжа.
b1 b1 y′ + p ( x ) y = q ( x ) . Решаем уравнение:
Уравнение Лагранжа:
y = x ⋅ ϕ ( y′) + ψ ( y′) . Под- y′ + p ( x) y = 0. Получаем
Уравнения не разре-
y = C ( x )e ∫
становка p = y’ . Полу- шенные относительно Метод Бернулли. − P ( x ) dx
. Нахо-
чаем: ⎧⎨ x = F ( p, C ) производной Замена: y = u ⋅ v ,
⎩ y = xf ( p ) + ϕ ( p )
y′ = u′v + v′u . дим y′ и подставляем в ис-
Затем создаем сис- ходное уравнение. Вычис-
Уравнение Клеро: Уравнение y = f(y’) или
⎧v′ + p( x)v = 0, ляем С(х) и подставляем
y = x ⋅ y′ + ψ ( y′) . Замена x = f(y’). Замена: y′ = p . тему: ⎨ полученный у.
y′ = p . После подстановки После подстановки по- ⎩ u′v = q( x)
⎧ x + ϕ ′( p) = 0, ⎧ f ′( p) и решаем. Уравнение Дарбу
получаем: ⎨ . лучаем: ⎪x = ∫ dp + C
. M ( x; y ) dx + N ( x; y ) dy + P ( x; y )( xdy − ydx ) = 0
⎨ p
⎩ y = x ⋅ p + ϕ ( p) ⎪ y = f ( p)
⎩ Замена y = z ⋅ x .
62
