Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 43 стр.

                                                                                                                     Приложение 3.
                                                                          Комплексные числа - C

    N                                                    Правило: i 2 = −1 ,          Алгебраическая форма записи
           Z      Q      R     C      C   n
                                                         где i - мнимая единица                         z = x+i⋅ y
                                                                                     Re(z)=x – действительная часть
                                                                                     Im(z)=y – мнимая часть
                                              Геометрическое истолкование
                                                                                     Сопряженное число: z = x − i ⋅ y
                                                    у
                                                     y                    М(x;у)
                                                             r                      Тригонометрическая форма за-
                                                                 ϕ
                                                                     x      x                         писи
                                                    0
                                                                                           z = r ⋅ (cos(ϕ ) + i ⋅ sin(ϕ ))
Модуль числа: r=|z|= x 2 + y 2                                                      Re(z)=r·cos(φ) – действительная часть
                                   ⎧       ⎛ y⎞                                     Im(z)=r·sin(φ) – мнимая часть
                                   ⎪ arctg ⎜ x ⎟,             x>0
                                   ⎪       ⎝    ⎠                                   Сопряженное число: z = r ⋅ (cos(ϕ ) − i ⋅ sin(ϕ ))
Аргумент числа: arg(z)=ϕ, где ϕ = ⎪⎨arctg ⎛⎜ ⎞⎟ + π , x < 0, y > 0
                                             y
                                   ⎪       ⎝x⎠
                                   ⎪       ⎛ y⎞                                        Показательная (экспоненци-
                                   ⎪arctg ⎜⎝ x ⎟⎠ − π , x < 0, y < 0                            альная)
                                   ⎩
Расстояние между числами z1 = x1 + i ⋅ y1 и z 2 = x2 + i ⋅ y 2 :                             форма записи
z1 − z2 = ( x1 − x2 ) 2 − ( y1 − y2 ) 2                                                             z = r ⋅ e i⋅ϕ ,
Равные числа z1 = x1 + i ⋅ y1 и z 2 = x2 + i ⋅ y 2 ⇔ x1 = x2 и y1 = y2               где eiϕ=cosϕ+i⋅sinϕ - формула Эйлера

                                                                     43