Составители:
Рубрика:
44
Приложение 4.
Действия над комплексными числами
для алгебраической формы запи-
си
для тригонометрической формы записи для показательной формы
записи
пусть даны:
y
i
x
z ⋅+= ,
111
yixz
⋅
+
= ,
222
yixz ⋅+=
пусть даны:
))sin()(cos(
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
irz ,
))sin()(cos(
1111
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
irz , ))sin()(cos(
2222
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
irz
пусть даны:
ϕ
⋅
⋅=
i
erz
,
1
11
ϕ
⋅
⋅=
i
erz
,
2
22
ϕ
⋅
⋅=
i
erz
1. Сложение и вычитание
)()(
212121
yyixxzz ±
⋅
+
±=±
2. Умножение чисел
)()(
1221212121
yxyxiyyxxzz +⋅
+
−
=⋅
))sin()(cos(
21212121
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
⋅
+
+
⋅
=
⋅
irrzz
)(
2121
21
ϕϕ
+
=⋅
i
errzz
3. Деление чисел
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
yx
yxyx
i
yx
yyxx
z
z
+
−
+
+
+
=
()()()
2121
2
1
2
1
sincos
ϕϕϕϕ
−⋅+−= i
r
r
z
z
)(
2
1
2
1
21
ϕϕ
−
=
i
e
r
r
z
z
4. Возведение в степень n , где n
∈
N
))sin()(cos(
ϕϕ
ninrz
nn
⋅+=
- формула Муавра
ϕ
innn
erz =
5. Извлечение корня n степени, где n
∈
N
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
n
k
i
n
k
rz
nn
πϕπϕ
2
sin
2
cos
,
где k=0,1…,n-1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
n
k
i
nn
erz
πϕ
2
,
где k=0,1…,n-1
Приложение 4.
Действия над комплексными числами
для алгебраической формы запи- для тригонометрической формы записи для показательной формы
си записи
пусть даны: z = x + i ⋅ y , пусть даны: z = r ⋅ (cos(ϕ ) + i ⋅ sin(ϕ )) , пусть даны: z = r ⋅ e i⋅ϕ ,
i⋅ϕ
z1 = x1 + i ⋅ y1 , z 2 = x 2 + i ⋅ y 2 z1 = r1 ⋅ (cos(ϕ1 ) + i ⋅ sin(ϕ1 )) , z 2 = r2 ⋅ (cos(ϕ 2 ) + i ⋅ sin(ϕ 2 )) z1 = r1 ⋅ e i⋅ϕ1 , z 2 = r2 ⋅ e 2
1. Сложение и вычитание
z1 ± z 2 = ( x1 ± x 2 ) + i ⋅ ( y1 ± y 2 )
2. Умножение чисел
z1 ⋅ z 2 = ( x1 x 2 − y1 y 2 ) + i ⋅ ( x1 y 2 + x 2 y1 ) z1 ⋅ z 2 = r1 ⋅ r2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i ⋅ sin(ϕ1 + ϕ 2 )) z1 ⋅ z 2 = r1 r2 e i (ϕ1 +ϕ 2 )
3. Деление чисел
z1 x1 x 2 + y1 y 2 x y − x1 y 2 z1 r1 z1 r1 i (ϕ1 −ϕ 2 )
= + i 2 21 = (cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i ⋅ sin (ϕ1 − ϕ 2 )) = e
z2 x2 + y2
2 2
x 2 + y 22 z 2 r2 z 2 r2
4. Возведение в степень n , где n ∈ N
z n = r n (cos(nϕ ) + i ⋅ sin( nϕ )) - формула Муавра z n = r n e inϕ
5. Извлечение корня n степени, где n ∈ N
⎛ ϕ + 2πk ⎞
⎛ ⎛ ϕ + 2πk ⎞ ⎛ ϕ + 2πk ⎞ ⎞ i⎜ ⎟
n
z = n r ⎜⎜ cos⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟⎟ , n
z = re n
, ⎝ n ⎠
⎝ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠⎠
где k=0,1…,n-1
где k=0,1…,n-1
44
