Составители:
Рубрика:
45
Приложение 5.
Функция комплексного переменного
);();()( yxviyxuzf
⋅
+
=
);())(Re( yxuzf
=
- действительная часть; );())(Im( yxvzf
=
- мнимая часть
Элементарные функции
1.
)sin()cos( zize
iz
⋅+=
2.
i
ee
z
iziz
2
)sin(
−
−
=
3.
2
)cos(
iziz
ee
z
−
+
=
4.
2
)(
zz
ee
zsh
−
−
=
5.
2
)(
zz
ee
zch
−
+
=
6.
)arg(ln)ln( zizz ⋅+=
7.
kizizzLn
π
2)arg(ln)( ⋅+⋅+=
Условие Коши – Римана (Эйлера - Даламбера):
-
для действительных x и y:
y
yxv
x
yxu
∂
∂
=
∂
∂ );();(
и
x
yxv
y
yxu
∂
∂
−=
∂
∂
);();(
;
- для полярных координат:
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
=
∂
∂ );(1);( rv
rr
ru
и
r
rv
r
ru
∂
∂
⋅−=
∂
∂
);(1);(
ϕ
ϕ
ϕ
.
Производная )(zf :
- для действительных x и y:
x
v
i
x
u
zf
∂
∂
⋅+
∂
∂
=
′
)(
y
u
i
y
v
∂
∂
⋅−
∂
∂
=
y
u
i
x
u
∂
∂
⋅−
∂
∂
=
x
v
i
y
v
∂
∂
⋅+
∂
∂
=
- для полярных координат:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅−
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅+
∂
∂
=
′
ϕϕ
u
i
v
zr
v
i
r
u
z
r
zf
1
)(
Интегрирование:
- если функция )(zf непрерывна на кривой l, то
∫∫∫
+⋅+−=
lll
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ));();(());();(()(
- если функция
)(zf
аналитична в односвязной области D за исключе-
нием особых точек, то
∑
∫
=
⋅=
n
k
z
l
zfidzzf
res
k
1
)(2)(
π
Вычеты
- для устранимой точки: 0)(
0
=zf
res
z
;
- для простого полюса:
))(()(
0
lim
0
0
zzzfzf
zz
z
res
−=
→
- для полюса k-го порядка:
1
1
0
1
))(([
)!1(
1
)(
lim
0
0
−
−−
→
−
−
=
k
kk
zz
z
dz
zzzfd
k
zf
res
Приложение 5.
Функция комплексного переменного
f ( z ) = u ( x; y ) + i ⋅ v( x; y )
Элементарные функции
Re( f ( z )) = u ( x; y ) - действительная часть; Im( f ( z )) = v( x; y ) - мнимая часть
1. eiz = cos( z ) + i ⋅ sin( z )
eiz − e − iz Условие Коши – Римана (Эйлера - Даламбера):
2. sin( z ) = ∂u ( x; y ) ∂v( x; y ) ∂u ( x; y ) ∂v( x; y )
2i - для действительных x и y: = и =− ;
e + e − iz
iz ∂x ∂y ∂y ∂x
3. cos( z ) = ∂ u (r ;ϕ ) 1 ∂ v (r ;ϕ ) ∂u (r ;ϕ ) 1 ∂v(r ;ϕ )
2 - для полярных координат: = и =− ⋅ .
e − e− z
z ∂r r ∂ϕ ∂ϕ r ∂r
4. sh( z ) =
2
e + e− z
z
Производная f (z ) :
5. ch( z ) =
2 ∂u ∂v ∂v ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v
6. ln( z ) = ln z + i ⋅ arg( z ) - для действительных x и y: f ′( z ) = + i ⋅ = − i ⋅ = − i ⋅ = + i ⋅
∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x
7. Ln( z ) = ln z + i ⋅ arg( z ) + i ⋅ 2πk r ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞
- для полярных координат: f ′( z ) = ⎜ + i ⋅ ⎟ = ⎜⎜ − i ⋅ ⎟⎟
z ⎝ ∂r ∂r ⎠ z ⎝ ∂ϕ ∂ϕ ⎠
Вычеты
Интегрирование:
- для устранимой точки: res f ( z ) = 0 ; - если функция f (z ) непрерывна на кривой l, то
z0
- для простого полюса: ∫ f ( z )dz = ∫ (u ( x; y)dx − v( x; y)dy) + i ⋅ ∫ (v( x; y)dx + u ( x; y)dy)
res f ( z ) = lim f ( z )( z − z0 ) l l l
z0 z → z0 - если функция f ( z ) аналитична в односвязной области D за исключе-
- для полюса k-го порядка: n
res
1 d k −1[ f ( z )( z − z0 ) k −1 нием особых точек, то ∫ f ( z )dz = 2π i ⋅ ∑ res f ( z )
(k − 1)! lim
f ( z) = l k =1 zk
z0 z → z0 dz k −1
45
