Составители:
Рубрика:
3
ВВЕДЕНИЕ
Построение различных неевклидовых геометрий по единой
логической схеме берет свое начало в трудах английского
математика Артура Кэли, который вводит мероопределение с
помощью образа второго порядка и тем самым устанавливает
связь между теорией инвариантов и проективной геометрией
[13]. Впервые сформулирована данная идея в знаменитой лекции
немецкого математика Феликса Клейна, прочитанной в 1872 году
в университетете г. Эрланген (Германия) и известной под
названием «Эрлангенская программа». Согласно представлениям
Кэли и Клейна о геометрии как совокупности свойств фигур,
инвариантных относительно некоторой подгруппы группы
проективных преобразований, существует девять различных
геометрий [4], [13], [18], [20] определенных образом второго
порядка на проективной плоскости.
Одной из этих девяти геометрий является «родная» нам
геометрия Евклида. Мы «евклидово» мыслим. Окружающий нас
физический мир, точнее, воспринимаемый нами физический мир,
как правило, евклидов. Только немногие из нас имеют
уникальную возможность «заглянуть» за пределы этого мира,
познакомиться с геометриями, законы которых разрушают
многие наши представления, но вслед за этим непременно
возводят новые, более общие, более прочные.
Восемь остальных геометрий собственно и относят к
классическим неевклидовым плоским геометриям.
Фиксированный на проективной плоскости образ второго
порядка называют абсолютом соответствующей неевклидовой
плоскости, или бесконечно удаленной квадрикой, или
несобственной линией второго порядка.
Приведем указанные девять двумерных геометрий и
соответствующие им абсолюты [4], [18]. Прежде всего, выделим
три плоские геометрии, абсолюты которых содержат прямую
линию проективной плоскости, их называют геометриями с
аффинной базой.
Евклидова геометрия, ее абсолютом является прямая
проективной плоскости с парой мнимо сопряженных точек на ней
(рис. 1).
