Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

141
ñòâóþùèì ýëåêòðîíàì. Åñëè ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà âîëíî-
âóþ ôóíêöèþ
as,
Ψ
, çàòåì óìíîæèòü ñëåâà íà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ
ôóíêöèþ
,
,
∗
Ψ
as
îò ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ âçÿòü èíòåãðàë ïî îáëàñòè
íàõîæäåíèÿ îáîèõ ýëåêòðîíîâ, òî ñðåäè ÷ëåíîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ìû ïîëó-
÷èì ñëåäóþùèé èíòåãðàë:
∫
ΨΨ
∗
.,
4
21,
120
2
,
ττ
πε
dd
r
e
asas
êîòîðûé íåîáõîäèìî ðàññ÷èòàòü, ïîäñòàâëÿÿ ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèì-
ìåòðè÷íóþ âîëíîâûå ôóíêöèè
as,
Ψ
è
∗
Ψ
as,
.
Ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ ïðè ó÷åòå èõ âçàèìî-
äåéñòâèÿ áóäåò ðàâíà:
,
0,2
0,1
AKEEE ±++=
(45.5)
ãäå ïîä ñèìâîëàìè À è Ê ïîíèìàþòñÿ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ :
.)2()2(
1
)1()1(
4
,)1()2(
1
)2()1(
4
2122
12
11
0
2
2121
12
21
0
.2
ττϕϕϕϕ
πε
ττϕϕϕϕ
πε
dd
r
e
K
dd
r
e
A
nnnn
nnnn
∗
∗
∗
∗
∫
∫
=
=
(45.6)
 ôîðìóëå (45.5) ó ïîñëåäíåãî ÷ëåíà ñòîÿò äâà çíàêà, âåðõíèé (+)
áåðåòñÿ òîãäà, êîãäà èñïîëüçóåòñÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ñîîòâåòñòâåííî, çíàê (-) ñòàâèòñÿ òîãäà, êîãäà áûëà èñ-
ïîëüçîâàíà àíòèñèììåòðè÷íàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýòèõ ýëåêòðîíîâ.
Âåëè÷èíà Ê â ôîðìóëå (45.6) ïîëó÷èëà íàçâàíèå êóëîíîâñêîãî èíòåã-
ðàëà è îïðåäåëÿåò êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèé àíàëîã êóëîíîâñêîé ýíåðãèè
âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ìû ãîâîðèì îá àíàëîãå, òàê êàê â çàêîíå
Êóëîíà ôèãóðèðóþò òî÷å÷íûå çàðÿäû.  íàøåé æå çàäà÷å ðàññìàòðèâàþò-
ñÿ îáëàêà âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ýëåêòðîíîâ.
Âåëè÷èíà À â ôîðìóëå (45.6) íàçûâàåòñÿ îáìåííûì èíòåãðàëîì, îíà
èìååò ÷èñòî êâàíòîâîå ïðîèñõîæäåíèå, îáóñëîâëåííîå îáìåíîì ýëåêòðî-
íîâ â ñîñòîÿíèÿõ (1) è (2).
ñòâóþùèì ýëåêòðîíàì. Åñëè ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà âîëíî-
âóþ ôóíêöèþ Ψs,a , çàòåì óìíîæèòü ñëåâà íà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ

ôóíêöèþ Ψs ,a ∗ , îò ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ âçÿòü èíòåãðàë ïî îáëàñòè
íàõîæäåíèÿ îáîèõ ýëåêòðîíîâ, òî ñðåäè ÷ëåíîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ìû ïîëó-
÷èì ñëåäóþùèé èíòåãðàë:
                                          e2
                          ∫   Ψs ,a ∗
                                        4πε 0 r12
                                                  Ψs ,a dτ 1dτ 2 .,

êîòîðûé íåîáõîäèìî ðàññ÷èòàòü, ïîäñòàâëÿÿ ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèì-
ìåòðè÷íóþ âîëíîâûå ôóíêöèè Ψs,a è Ψs,a ∗ .
     Ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ ïðè ó÷åòå èõ âçàèìî-
äåéñòâèÿ áóäåò ðàâíà:
                      E = E 1, 0 + E 2,0 + K ± A,                     (45.5)
ãäå ïîä ñèìâîëàìè À è Ê ïîíèìàþòñÿ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ :

            e 2.     ∗                1
      A=
           4πε 0 ∫
                 ϕ n1 (1)ϕ n 2 ∗ ( 2) ϕ n1 ( 2)ϕ n 2 (1)dτ 1dτ 2 ,
                                     r12
            e2       ∗            1                                   (45.6)
      K=
           4πε 0 ∫
                 ϕ n1 (1)ϕ n1 (1) ϕ n 2 ∗ ( 2)ϕ n 2 (2)dτ 1dτ 2 .
                                 r12


       ôîðìóëå (45.5) ó ïîñëåäíåãî ÷ëåíà ñòîÿò äâà çíàêà, âåðõíèé (+)
áåðåòñÿ òîãäà, êîãäà èñïîëüçóåòñÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ñîîòâåòñòâåííî, çíàê (-) ñòàâèòñÿ òîãäà, êîãäà áûëà èñ-
ïîëüçîâàíà àíòèñèììåòðè÷íàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýòèõ ýëåêòðîíîâ.
      Âåëè÷èíà Ê â ôîðìóëå (45.6) ïîëó÷èëà íàçâàíèå êóëîíîâñêîãî èíòåã-
ðàëà è îïðåäåëÿåò êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèé àíàëîã êóëîíîâñêîé ýíåðãèè
âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ìû ãîâîðèì îá àíàëîãå, òàê êàê â çàêîíå
Êóëîíà ôèãóðèðóþò òî÷å÷íûå çàðÿäû.  íàøåé æå çàäà÷å ðàññìàòðèâàþò-
ñÿ îáëàêà âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ýëåêòðîíîâ.
      Âåëè÷èíà À â ôîðìóëå (45.6) íàçûâàåòñÿ îáìåííûì èíòåãðàëîì, îíà
èìååò ÷èñòî êâàíòîâîå ïðîèñõîæäåíèå, îáóñëîâëåííîå îáìåíîì ýëåêòðî-
íîâ â ñîñòîÿíèÿõ (1) è (2).


                                              141

Страницы