Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

140
20
20
2
2
2
10
10
2
1
2
4
2
)2(
2
4
2
)1(
2
2
2
1
1
E
r
e
m
E
r
e
m
n
n
n
n
++∆
−
−=−−∆
−
πε
ϕ
ϕπε
ϕ
ϕ
hh
.
Ñëåâà â ýòîì ðàâåíñòâå ñòîÿò âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ ê ïåðâîìó ýëåê-
òðîíó, ñïðàâà  êî âòîðîìó. Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ âñåãäà è
âåçäå, à ýòî âîçìîæíî, åñëè êàæäàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà  ïîñòîÿííàÿ âåëè-
÷èíà, â ÷àñòíîñòè, îíà ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Òîãäà ìû ïîëó÷àåì äâà
îäíîòèïíûõ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, êàæäîå èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò ñî-
ñòîÿíèå îäíîãî èç ýëåêòðîíîâ:
),1()1(
4
2
)1(
2
111
10
10
2
1
2
nnn
E
r
e
m
ϕϕ
πε
ϕ
=−∆−
h
)2()2(
4
2
)2(
2
222
20
0
2
2
2
nnn
E
r
e
m
ϕϕ
πε
ϕ
=−∆−
h
.
Êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîäîáíî óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà äëÿ àòî-
ìà âîäîðîäà òîëüêî ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî çàðÿä ÿäðà â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì
â àòîìå âîäîðîäà. Çàäà÷à äëÿ àòîìà âîäîðîäà ðåøàåòñÿ ñòðîãî è, òàêèì
îáðàçîì, ìû ìîæåì íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè
)
2
(
),1(
2
1
nn
ϕϕ
, à òàêæå èõ
ýíåðãèè
.,
2010
EE
Ñëåäóþùèé ýòàï ðåøåíèÿ çàäà÷è  ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ
ìåæäó ñîáîé. Íî â ýòîì ñëó÷àå ìû äîëæíû ñîñòàâèòü îáùóþ âîëíîâóþ
ôóíêöèþ äëÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ, èñïîëüçóÿ èõ îäíîýëåêòðîííûå
âûðàæåíèÿ, íàéäåííûå íàìè â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè.
Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, èç îäíîýëåêòðîííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé â
ñëó÷àå äâóõ ýëåêòðîíîâ ìîæíî ñîñòàâèòü äâå êîìáèíàöèè, îáëàäàþùèå îï-
ðåäåëåííîé ñèììåòðèåé: ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèè:
).1()2()2()1(
2121
,
nnnnas
ϕϕϕϕ
±=Ψ
Ýòè âîëíîâûå ôóíêöèè íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðå-
äèíãåðà ñ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîì. Ïðè ýòîì ÷ëåí, ñâÿçàííûé ñ âçàèìî-
äåéñòâèåì ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé:
120
2
4
r
e
πε
âûñòóïàåò â êà÷åñòâå âîçìóùåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê äâóì íåâçàèìîäåé-
         h2                              − h2
        −                  2                               2
         2m ∆ ϕ (1) −  2 e               2 m ∆ ϕ ( 2) + 2 e + E .
                               − E   = −
        ϕ n1          4πε 0 r1           ϕ n2          4πε 0 r2
             1 n1                 10          2 n2              20


     Ñëåâà â ýòîì ðàâåíñòâå ñòîÿò âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ ê ïåðâîìó ýëåê-
òðîíó, ñïðàâà – êî âòîðîìó. Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ âñåãäà è
âåçäå, à ýòî âîçìîæíî, åñëè êàæäàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà – ïîñòîÿííàÿ âåëè-
÷èíà, â ÷àñòíîñòè, îíà ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Òîãäà ìû ïîëó÷àåì äâà
îäíîòèïíûõ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, êàæäîå èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò ñî-
ñòîÿíèå îäíîãî èç ýëåêòðîíîâ:
                    h2                     2e 2
                −        ∆ 1ϕ n 1 (1) −              ϕ n 1 (1) = E 10ϕ n 1 (1),
                    2m                    4πε 0 r1



                    h2                 2e 2
                −      ∆ 2ϕ n2 ( 2) −         ϕ n2 (2) = E 20ϕ n2 ( 2) .
                    2m                4πε 0 r
     Êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîäîáíî óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà äëÿ àòî-
ìà âîäîðîäà òîëüêî ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî çàðÿä ÿäðà â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì
â àòîìå âîäîðîäà. Çàäà÷à äëÿ àòîìà âîäîðîäà ðåøàåòñÿ ñòðîãî è, òàêèì
îáðàçîì, ìû ìîæåì íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè ϕ n1 (1), ϕ n2 ( 2) , à òàêæå èõ
ýíåðãèè E10 , E 20 .
     Ñëåäóþùèé ýòàï ðåøåíèÿ çàäà÷è – ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ
ìåæäó ñîáîé. Íî â ýòîì ñëó÷àå ìû äîëæíû ñîñòàâèòü îáùóþ âîëíîâóþ
ôóíêöèþ äëÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ, èñïîëüçóÿ èõ îäíîýëåêòðîííûå
âûðàæåíèÿ, íàéäåííûå íàìè â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè.
     Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, èç îäíîýëåêòðîííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé â
ñëó÷àå äâóõ ýëåêòðîíîâ ìîæíî ñîñòàâèòü äâå êîìáèíàöèè, îáëàäàþùèå îï-
ðåäåëåííîé ñèììåòðèåé: ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèè:
                      Ψs ,a = ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) ± ϕ n1 ( 2)ϕ n2 (1).
     Ýòè âîëíîâûå ôóíêöèè íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðå-
äèíãåðà ñ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîì. Ïðè ýòîì ÷ëåí, ñâÿçàííûé ñ âçàèìî-
äåéñòâèåì ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé:
                                            e2
                                          4πε 0 r12
âûñòóïàåò â êà÷åñòâå “âîçìóùåíèÿ” ïî îòíîøåíèþ ê äâóì íåâçàèìîäåé-

                                             140

Страницы