Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

139
120
2
20
2
10
2
2
2
1
2
44
2
4
2
22
ˆ
r
e
r
e
r
e
mm
H
πεπεπε
+−−∆−∆−=
hh
, (45.2)
ãäå ïåðâûå äâà ÷ëåíà  ýòî îïåðàòîðû êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ â
àòîìå ãåëèÿ, ñëåäóþùèå äâà ÷ëåíà  ýòî îïåðàòîðû ïîòåíöèàëüíîé ýíåð-
ãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ñ ÿäðîì àòîìà, çàðÿä êîòîðîãî ðàâåí 2å,
ïîñëåäíèé ÷ëåí ñèìâîëèçèðóåò âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé.
Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Èñ-
êëþ÷èì â íóëåâîì ïðèáëèæåíèé ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðî-
íàìè. Òîãäà ãàìèëüòîíèàí ïðèíèìàåò âèä:
,
4
2
4
2
22
ˆ
20
2
10
2
2
2
1
2
0
r
e
r
e
mm
H
πεπε
−−∆−∆−=
hh
(45.3)
Îòáðàñûâàÿ ïîñëåäíèé ÷ëåí â ãàìèëüòîíèàíå (45.2), ìû ñâîäèì çà-
äà÷ó ê äâóì íåâçàèìîäåéñòâóþùèì ýëåêòðîíàì, à ïîòîìó âîëíîâóþ ôóí-
êöèþ ýòîé ñèñòåìû ìîæíî ñîñòàâèòü íà îñíîâàíèè òåîðåìû óìíîæåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé â âèäå:
)2()1(
21
0
nn
ϕϕ
⋅=Ψ
. (45.4)
Åñëè ôóíêöèþ (45.4) ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ îïåðà-
òîðîì Ãàìèëüòîíà â âèäå (45.3), òî ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ïðîèçâåñòè ðàç-
äåëåíèå ïåðåìåííûõ:
-
).2()1()2()1(
4
2
)2()1(
2
)2()1(
4
2
)2()1(
2
2121
212121
20
2
2
2
10
2
1
2
nnnn
nnnnnn
E
r
e
mr
e
m
ϕϕϕϕ
πε
ϕϕϕϕ
πε
ϕϕ
=−
−∆−−∆−
hh
Ðàçäåëèì îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà íà
:
)
2
(
)
1
(
2
1
0
nn
E
r
e
m
r
e
m
n
nn
n
n
nn
n
=−∆−−∆
−
20
2
2
2
10
2
1
2
4
2
)2(
)2()1(
)1(
2
4
2
)1(
)2()1(
)2(
2
2
21
1
1
21
2
πε
ϕ
ϕϕ
ϕ
πε
ϕ
ϕϕ
ϕ
hh
Òàê êàê ýëåêòðîíû íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé, òî ïîëíàÿ ýíåð-
ãèÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ ðàâíà:
.
2010
EEE +=
Ïîäñòàâèì ýòó ñóììó â ïðàâóþ ñòîðîíó ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà è
ïåðåãðóïïèðóåì ÷ëåíû:
                h2      h2       2e 2     2e 2      e2
         Hˆ = −    ∆1 −    ∆2 −         −        +          ,                               (45.2)
                2m      2m      4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 r12
ãäå ïåðâûå äâà ÷ëåíà – ýòî îïåðàòîðû êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ â
àòîìå ãåëèÿ, ñëåäóþùèå äâà ÷ëåíà – ýòî îïåðàòîðû ïîòåíöèàëüíîé ýíåð-
ãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ñ ÿäðîì àòîìà, çàðÿä êîòîðîãî ðàâåí 2å,
ïîñëåäíèé ÷ëåí ñèìâîëèçèðóåò âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé.
      Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Èñ-
êëþ÷èì â íóëåâîì ïðèáëèæåíèé ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðî-
íàìè. Òîãäà ãàìèëüòîíèàí ïðèíèìàåò âèä:
                            h2      h2       2e 2     2e 2
                   Hˆ 0 = −    ∆1 −    ∆2 −         −         ,                             (45.3)
                            2m      2m      4πε 0 r1 4πε 0 r2
       Îòáðàñûâàÿ ïîñëåäíèé ÷ëåí â ãàìèëüòîíèàíå (45.2), ìû ñâîäèì çà-
äà÷ó ê äâóì íåâçàèìîäåéñòâóþùèì ýëåêòðîíàì, à ïîòîìó âîëíîâóþ ôóí-
êöèþ ýòîé ñèñòåìû ìîæíî ñîñòàâèòü íà îñíîâàíèè òåîðåìû óìíîæåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé â âèäå:
                            Ψ0 = ϕ n1 (1) ⋅ ϕ n2 ( 2) .                                     (45.4)
     Åñëè ôóíêöèþ (45.4) ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ îïåðà-
òîðîì Ãàìèëüòîíà â âèäå (45.3), òî ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ïðîèçâåñòè ðàç-
äåëåíèå ïåðåìåííûõ:

             h2                         2e 2                        h2
         −      ∆ 1ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) −          ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) −    ∆ 2ϕ n1 (1)ϕ n2 (2) −
             2m                        4πε 0 r1                     2m
     -        2e 2
         −           ϕ n (1)ϕ n2 (2) = Eϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2).
             4πε 0 r2 1

     Ðàçäåëèì îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà íà Ψ0 = ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) :

            h2                                       h2
         −       ϕ n2 ( 2 )                   2           ϕ n1 (1)
            2m                             2e                                        2e 2
                            ∆ 1ϕ n1 (1) −         − 2m               ∆ 2ϕ n2 ( 2) −          =E
         ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2)                4πε 0 r1 ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2)                4πε 0 r2

     Òàê êàê ýëåêòðîíû íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé, òî ïîëíàÿ ýíåð-
ãèÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ ðàâíà:
                                           E = E10 + E 20 .
     Ïîäñòàâèì ýòó ñóììó â ïðàâóþ ñòîðîíó ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà è
ïåðåãðóïïèðóåì ÷ëåíû:

                                                  139

Страницы