Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

137
Ðåøàÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ êàæäîãî ýëåêòðîíà, ïîëó÷èì äâå êîîð-
äèíàòíûå âîëíîâûå ôóíêöèè
21
nn
è
ϕϕ
, ãäå ïîä
2
1
n
è
n
ïîíèìàåò-
ñÿ ïîëíûé íàáîð õàðàêòåðèñòèê, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ.
Èç ýòèõ îäíîýëåêòðîííûõ êîîðäèíàòíûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîæíî ñîñòà-
âèòü äâå êîìáèíàöèè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îáëàäàåò îïðåäåëåííîé ñèììåò-
ðèåé. Äåéñòâèòåëüíî, êîìáèíàöèÿ
)1()2()2()1(
2121
nnnns
ϕϕϕϕ
ψ
+=
(44.4)
ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé êîîðäèíàòíîé ôóíêöèåé äâóõ ýëåêòðîíîâ.  ýòîì
ëåãêî óáåäèòñÿ, åñëè ïåðåñòàâèòü ìåñòàìè öèôðû, ñèìâîëèçèðóþùèå ýëåê-
òðîíû, ìû ïîëó÷èì òó æå êîìáèíàöèþ îäíîýëåêòðîííûõ êîîðäèíàòíûõ
ôóíêöèé.
Èç òåõ æå îäíîýëåêòðîííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ïîñòðîèì âîëíîâóþ
ôóíêöèþ äâóõ ýëåêòðîíîâ, êîòîðàÿ áóäåò àíòèñèììåòðè÷íîé :
)1()2()2()1(
2121
nnnna
ϕϕϕϕ
ψ
−=
. (44.5)
Ïðîâåðèì, ÷òî ôóíêöèÿ (44.5) ÿâëÿåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íîé, äëÿ ÷åãî
ïðîèçâåäåì ïåðåñòàíîâêó ÷àñòèö â ñîñòîÿíèÿõ:
)2,1()2()1()1()2()1,2(
2121
annnna
ψϕϕϕϕ
ψ
−=−=
.
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñîñòàâèì îáùóþ ñïèíîâóþ ôóíêöèþ äâóõ ýëåêòðîíîâ, èñïîëüçóÿ èõ
îäíîýëåêòðîííûå ñïèíîâûå ôóíêöèè (â òîì æå íóëåâîì ïðèáëèæåíèè).
Âîçìîæíû ñëåäóþùèå êîìáèíàöèè:
).2()1(
),2()1(
2
1
2
1
2
1
2
1
−−
SS
SS
(44.6)
Ñèììåòðè÷íîñòü êîìáèíàöèé (44.6) î÷åâèäíà. Ñîñòàâèì åùå îäíó
êîìáèíàöèþ îäíîýëåêòðîííûõ ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé:
).2()1()2()1(
2
1
2
1
2
1
2
1
−−
+
SSSS
(44.7)
Ëåãêî ïðîâåðèòü, êàê ìû ñäåëàëè ýòî ñ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèåé, ÷òî
òàêàÿ êîìáèíàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ôóíêöèåé äâóõ ýëåêòðîíîâ.
Èòàê, èç îäíîýëåêòðîííûõ ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ìû ïîñòðîèëè
òðè ñèììåòðè÷íûå êîìáèíàöèè. Íî àíòèñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèþ óäàñ-
òñÿ ïîñòðîèòü òîëüêî îäíó:
Ðåøàÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ êàæäîãî ýëåêòðîíà, ïîëó÷èì äâå êîîð-
äèíàòíûå âîëíîâûå ôóíêöèè ϕ n1                       è ϕ n2 , ãäå ïîä n1 è n 2 ïîíèìàåò-
ñÿ ïîëíûé íàáîð õàðàêòåðèñòèê, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ.
Èç ýòèõ îäíîýëåêòðîííûõ êîîðäèíàòíûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîæíî ñîñòà-
âèòü äâå êîìáèíàöèè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îáëàäàåò îïðåäåëåííîé ñèììåò-
ðèåé. Äåéñòâèòåëüíî, êîìáèíàöèÿ
                    ψ s = ϕ n1 (1)ϕ n2 (2) + ϕ n1 ( 2)ϕ n2 (1)                  (44.4)
ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé êîîðäèíàòíîé ôóíêöèåé äâóõ ýëåêòðîíîâ.  ýòîì
ëåãêî óáåäèòñÿ, åñëè ïåðåñòàâèòü ìåñòàìè öèôðû, ñèìâîëèçèðóþùèå ýëåê-
òðîíû, ìû ïîëó÷èì òó æå êîìáèíàöèþ îäíîýëåêòðîííûõ êîîðäèíàòíûõ
ôóíêöèé.
     Èç òåõ æå îäíîýëåêòðîííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ïîñòðîèì âîëíîâóþ
ôóíêöèþ äâóõ ýëåêòðîíîâ, êîòîðàÿ áóäåò àíòèñèììåòðè÷íîé :
                    ψ a = ϕ n1 (1)ϕ n2 (2) − ϕ n1 ( 2)ϕ n2 (1) .                (44.5)
    Ïðîâåðèì, ÷òî ôóíêöèÿ (44.5) ÿâëÿåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íîé, äëÿ ÷åãî
ïðîèçâåäåì ïåðåñòàíîâêó ÷àñòèö â ñîñòîÿíèÿõ:
            ψ a ( 2,1) = ϕ n1 ( 2)ϕ n2 (1) − ϕ n1 (1)ϕ n2 (2) = −ψ a (1,2) .
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
      Ñîñòàâèì îáùóþ ñïèíîâóþ ôóíêöèþ äâóõ ýëåêòðîíîâ, èñïîëüçóÿ èõ
îäíîýëåêòðîííûå ñïèíîâûå ôóíêöèè (â òîì æå íóëåâîì ïðèáëèæåíèè).
Âîçìîæíû ñëåäóþùèå êîìáèíàöèè:
                     S 1 (1) S 1 (2),
                         2         2
                     S       1 (1) S       1 ( 2).
                                                                                (44.6)
                         −             −
                             2             2

    Ñèììåòðè÷íîñòü êîìáèíàöèé (44.6) î÷åâèäíà. Ñîñòàâèì åùå îäíó
êîìáèíàöèþ îäíîýëåêòðîííûõ ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé:
                     S       1 (1) S 1     (2) + S 1 (1) S           (2).
                         −                                   −
                                                                 1
                                                                                (44.7)
                             2       2               2           2
      Ëåãêî ïðîâåðèòü, êàê ìû ñäåëàëè ýòî ñ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèåé, ÷òî
òàêàÿ êîìáèíàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ôóíêöèåé äâóõ ýëåêòðîíîâ.
Èòàê, èç îäíîýëåêòðîííûõ ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ìû ïîñòðîèëè
òðè ñèììåòðè÷íûå êîìáèíàöèè. Íî àíòèñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèþ óäàñ-
òñÿ ïîñòðîèòü òîëüêî îäíó:


                                                     137

Страницы