Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

136
ìîæåò áûòü äâóõ ýëåêòðîíîâ ñ îäèíàêîâûì íàáîðîì âñåõ ÷åòûðåõ êâàíòî-
âûõ ÷èñåë.
Ïîëó÷èì åùå îäíó ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâêó ïðèíöèïà Ïàóëè,
èñõîäÿ èç àíòèñèììåòðè÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ôåðìèîíîâ. Ïóñòü â
ñèñòåìå ñîäåðæèòñÿ äâà ýëåêòðîíà. Ýòîò àíñàìáëü îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé
ôóíêöèåé
()
21
,
nn
Ψ
, ãäå ÷èñëà
i
n
- ýòî ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë,
îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíîâ â àíñàìáëå.
 ñèëó àíòèñèììåòðè÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ôåðìèîíîâ ìîæíî
ñîñòàâèòü òàêîå ðàâåíñòâî :
()()
.,,
1221
nnnn
Ψ−=Ψ
Ñäåëàåì äîïóùåíèå, ÷òî îáà ýëåêòðîíà íàõîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå
êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè, ò.å.
21
nn =
.Òîãäà
() ()
,,,
1111
nnnn
Ψ−=Ψ
÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî
()
.0,
11
≡Ψ
nn
Òàêèì îáðàçîì, àíòèñèììåòðè÷íîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè  ýòî èíîå
âûðàæåíèå ïðèíöèïà Ïàóëè.
45. Ïîñòðîåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè äâóõ ôåðìèîíîâ
 íóëåâîì ïðèáëèæåíèè, êîãäà ïðåíåáðåãàåì ñïèí-îðáèòàëüíûì âçà-
èìîäåéñòâèåì, ïîëíóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ââèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè íà ñïèíîâóþ. Ïðè ýòîì ìû
ó÷èòûâàåì, ÷òî ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè íå
çàâèñèò îò êîîðäèíàòíîãî è íà îñíîâàíèè òåîðåìû óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñ-
òåé íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ïîëó÷àåì:
S⋅=Ψ
ψ
(44.1)
Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà èç ôåðìèîíîâ, òî ôóíêöèÿ (44.1) äîë-
æíà áûòü àíòèñèììåòðè÷íîé. Åå àíòèñèììåòðè÷íîñòü ìîæíî ïîñòðîèòü
ñëåäóþùèìè êîìáèíàöèÿìè:
asa
S
ψ
=Ψ , (44.2)
ëèáî
.
saa
S
ψ
=Ψ (44.3)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþùèåñÿ äâà ôåðìèîíà (äëÿ îïðåäåëåííîñòè -
äâà ýëåêòðîíà) íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé (íóëåâîå ïðèáëèæåíèå).
ìîæåò áûòü äâóõ ýëåêòðîíîâ ñ îäèíàêîâûì íàáîðîì âñåõ ÷åòûðåõ êâàíòî-
âûõ ÷èñåë.
     Ïîëó÷èì åùå îäíó ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâêó ïðèíöèïà Ïàóëè,
èñõîäÿ èç àíòèñèììåòðè÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ôåðìèîíîâ. Ïóñòü â
ñèñòåìå ñîäåðæèòñÿ äâà ýëåêòðîíà. Ýòîò àíñàìáëü îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé
ôóíêöèåé Ψ (n1 , n 2 ) , ãäå ÷èñëà n i - ýòî ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë,
îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíîâ â àíñàìáëå.
      ñèëó àíòèñèììåòðè÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ôåðìèîíîâ ìîæíî
ñîñòàâèòü òàêîå ðàâåíñòâî :
                        Ψ (n1 , n 2 ) = − Ψ (n 2 , n1 ).
       Ñäåëàåì äîïóùåíèå, ÷òî îáà ýëåêòðîíà íàõîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå
êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè, ò.å. n1 = n 2 .Òîãäà
                        Ψ (n1 , n1 ) = − Ψ (n1 , n1 ),
÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî
                          Ψ (n1 , n1 ) ≡ 0.
    Òàêèì îáðàçîì, àíòèñèììåòðè÷íîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè – ýòî èíîå
âûðàæåíèå ïðèíöèïà Ïàóëè.

       45. Ïîñòðîåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè äâóõ ôåðìèîíîâ

      Â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè, êîãäà ïðåíåáðåãàåì ñïèí-îðáèòàëüíûì âçà-
èìîäåéñòâèåì, ïîëíóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ââèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè íà ñïèíîâóþ. Ïðè ýòîì ìû
ó÷èòûâàåì, ÷òî ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè íå
çàâèñèò îò êîîðäèíàòíîãî è íà îñíîâàíèè òåîðåìû óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñ-
òåé íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ïîëó÷àåì:
                         Ψ =ψ ⋅ S                             (44.1)
      Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà èç ôåðìèîíîâ, òî ôóíêöèÿ (44.1) äîë-
æíà áûòü àíòèñèììåòðè÷íîé. Åå àíòèñèììåòðè÷íîñòü ìîæíî ïîñòðîèòü
ñëåäóþùèìè êîìáèíàöèÿìè:
                              Ψa = ψ s S a ,                     (44.2)
ëèáî
                         Ψa = ψ a S s .                     (44.3)
      Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþùèåñÿ äâà ôåðìèîíà (äëÿ îïðåäåëåííîñòè -
äâà ýëåêòðîíà) íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé (íóëåâîå ïðèáëèæåíèå).

                                         136

Страницы