Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

134
Ψ−=Ψ
Ψ+=Ψ
kj
kj
P
P
ˆ
ˆ
, (42.5)
Ôóíêöèè, êîòîðûå íå èçìåíÿþò âïåðåäè ñòîÿùåãî çíàêà ïðè äåéñòâèè
îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö, íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè. À òå
ôóíêöèè, ó êîòîðûõ çíàê ìåíÿåòñÿ íà îáðàòíûé, ïîëó÷èëè íàçâàíèå àíòè-
ñèììåòðè÷íûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òîëüêî äâà êëàññà ñî-
ñòîÿíèé äëÿ êâàíòîâûõ, òîæäåñòâåííûõ, íåðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö . Áóäåì
îáîçíà÷àòü ýòè ôóíêöèè, ðàññòàâëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èíäåêñû:
akj
skj
P
P
Ψ−=Ψ
Ψ=Ψ
ˆ
ˆ
(42.6)
Ïîêàæåì, ÷òî ñèììåòðè÷íûå ñîñòîÿíèÿ íå ìîãóò ïåðåéòè â êëàññ
àíòèñèììåòðè÷íûõ ñîñòîÿíèé è íàîáîðîò, ò.å. ñèììåòðèÿ êëàññà  ýòî
èíâàðèàíò ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ, êâàíòîâûõ, íåðàçëè÷èìûõ
÷àñòèö. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíûì óðàâíåíèåì Øðåäèí-
ãåðà:
Ψ=
∂
Ψ∂
H
t
i
ˆ
h
èëè
.
ˆ
1
dtH
i
dt
t
d Ψ=
∂
Ψ∂
=Ψ
h
Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè èñõîäíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ
ñèììåòðè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé
s
Ψ . Ò.ê. ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû
H
ˆ
íå
èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö, òî è
s
H
Ψ
ˆ
áóäåò ñèììåòðè÷íîé
ôóíêöèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, è
s
dd
Ψ=Ψ
, à ðàç ïðèðàùåíèå âîëíîâîé ôóí-
êöèè çà âðåìÿ dt íå èçìåíèëî ñâîåãî êëàññà, òî è ñàìà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ çà
ýòî âðåìÿ íå èçìåíèëà ñâîåé ñèììåòðèè. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî
ïðîäîëæèòü äî ëþáîãî êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè
t∆
. Âûâîä: ñèì-
ìåòðèÿ ñèñòåìû íå èçìåíÿåòñÿ íè âî âðåìåíè, íè ïîä âîçäåéñòâèåì âíå-
øíèõ ïîëåé, îíà íîñèò àáñîëþòíûé õàðàêòåð, ñèììåòðè÷íîñòü ñîñòîÿíèÿ
ñèñòåìû - èíâàðèàíò ýòîé ñèñòåìû, åå íåëüçÿ èçìåíèòü è äåéñòâèåì âíå-
øíèõ ïîëåé, òàê êàê ëþáîå âíåøíåå ïîëå äåéñòâóåò îäèíàêîâî íà òîæäå-
ñòâåííûå ÷àñòèöû. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ïî êàêîìó êðèòåðèþ ñèñòåìà ÷àñ-
òèö äîëæíà áûòü îòíåñåíà ê îäíîìó èç êëàññîâ ñîñòîÿíèÿ? Ýòîò êðèòåðèé
ìû óñòàíîâèì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.
                          Pˆkj Ψ = + Ψ
                                       ,                  (42.5)
                          Pˆkj Ψ = − Ψ
     Ôóíêöèè, êîòîðûå íå èçìåíÿþò âïåðåäè ñòîÿùåãî çíàêà ïðè äåéñòâèè
îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö, íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè. À òå
ôóíêöèè, ó êîòîðûõ çíàê ìåíÿåòñÿ íà îáðàòíûé, ïîëó÷èëè íàçâàíèå àíòè-
ñèììåòðè÷íûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òîëüêî äâà êëàññà ñî-
ñòîÿíèé äëÿ êâàíòîâûõ, òîæäåñòâåííûõ, íåðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö . Áóäåì
îáîçíà÷àòü ýòè ôóíêöèè, ðàññòàâëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èíäåêñû:
                          Pˆkj Ψ = Ψs
                                                                   (42.6)
                          Pˆkj Ψ = −Ψa
      Ïîêàæåì, ÷òî ñèììåòðè÷íûå ñîñòîÿíèÿ íå ìîãóò ïåðåéòè â êëàññ
àíòèñèììåòðè÷íûõ ñîñòîÿíèé è íàîáîðîò, ò.å. ñèììåòðèÿ êëàññà – ýòî
èíâàðèàíò ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ, êâàíòîâûõ, íåðàçëè÷èìûõ
÷àñòèö. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíûì óðàâíåíèåì Øðåäèí-
ãåðà:
                                     ∂Ψ
                                ih       = Hˆ Ψ
                                      ∂t
èëè
                               ∂Ψ       1
                         dΨ =      dt = Hˆ Ψdt.
                                ∂t     ih
     Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè èñõîäíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ
ñèììåòðè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé Ψs . Ò.ê. ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû Ĥ íå
èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö, òî è HΨ  ˆ áóäåò ñèììåòðè÷íîé
                                                    s
ôóíêöèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, è dΨ = dΨs , à ðàç ïðèðàùåíèå âîëíîâîé ôóí-
êöèè çà âðåìÿ dt íå èçìåíèëî ñâîåãî êëàññà, òî è ñàìà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ çà
ýòî âðåìÿ íå èçìåíèëà ñâîåé ñèììåòðèè. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî
ïðîäîëæèòü äî ëþáîãî êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ∆t . Âûâîä: ñèì-
ìåòðèÿ ñèñòåìû íå èçìåíÿåòñÿ íè âî âðåìåíè, íè ïîä âîçäåéñòâèåì âíå-
øíèõ ïîëåé, îíà íîñèò àáñîëþòíûé õàðàêòåð, ñèììåòðè÷íîñòü ñîñòîÿíèÿ
ñèñòåìû - èíâàðèàíò ýòîé ñèñòåìû, åå íåëüçÿ èçìåíèòü è äåéñòâèåì âíå-
øíèõ ïîëåé, òàê êàê ëþáîå âíåøíåå ïîëå äåéñòâóåò îäèíàêîâî íà òîæäå-
ñòâåííûå ÷àñòèöû. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ïî êàêîìó êðèòåðèþ ñèñòåìà ÷àñ-
òèö äîëæíà áûòü îòíåñåíà ê îäíîìó èç êëàññîâ ñîñòîÿíèÿ? Ýòîò êðèòåðèé
ìû óñòàíîâèì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.


                                       134

Страницы