Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 133 стр.

÷àñòèö. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè Ψ è Ψ′ = Pˆkj Ψ îïèñûâàþò îäíî è òî
æå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö.

      43. Ñèììåòðè÷íûå è àíòèñèììåòðè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

      Â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà ìû ïîêàçàëè, ÷òî ôóíêöèè
  (                        )     (                      )
Ψ n1 .....n k ....n j .....n N , t èΨ′ n1 ....n j ....n k ....n N , t îïèñûâàþò îäíî è òî æå
ñîñòîÿíèå. Ïîýòîìó îíè ìîãóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü ïîñòîÿííûì
ìíîæèòåëåì:
                                 P̂kj Ψ = λΨ                                     (42.1)
      Íî âûðàæåíèå (42.1) åñòü íè ÷òî èíîå êàê îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå
äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâ-
êè Pˆkj . Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýòîãî îïåðàòîðà, ïðèìåíèì
äåéñòâèå ýòîãî îïåðàòîðà íåçàâèñèìî ê îáåèì ñòîðîíàì ðàâåíñòâà (42.1).
Âûðàæåíèå Pˆ jk Pˆkj Ψ ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî ñ ñèñòåìîé íè÷åãî íå
ïðîèñõîäèëî. Òî÷íåå, ïîñëå äâóõ êðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ïåðåñòà-
íîâêè îäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö, ñèñòåìà âåðíóëàñü â ñâîå ïåðâîíà÷àëüíîå
ñîñòîÿíèå:
                                 Pˆ jk Pˆkj Ψ = Ψ .                              (42.2)

      Äàëåå ðàññìîòðèì äåéñòâèå îïåðàòîðà P̂jk íà ïðàâóþ ñòîðîíó ñîîò-
íîøåíèÿ (42.1):
                         Pˆ jk λΨ = λPˆ jk Ψ = λ ⋅ λΨ = λ2 Ψ.                    (42.3)
      Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå ñòîðîíû ðàâåíñòâ (42.2) è (42.3), ïîëó÷àåì:
                                          λ2 = 1,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè P̂kj èìååò äâà ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèÿ:
                                 λ = ±1 .                                        (42.4)
      Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äåéñòâèå îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö P̂kj , äåé-
ñòâóÿ íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψ , ïðèâîäèò ê äâóì ñëåäñòâèÿì:



                                             133