ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
23
Çàäà÷à ¹2.
Íà÷àëüíûå ïîëîæåíèÿ è âåêòîðû ñêîðîñòåé äâóõ êîðàáëåé
(ñàìîëåòîâ, ëþäåé è ò.ä.) çàäàíû ãðàôè÷åñêè. Êîðàáëè äâèæóòñÿ
ðàâíîìåðíî. Êàêèì áóäåò íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè?
Íàéòè:
min
l
Ðåøåíèå.
Äàíî:
11
,
vv
r
22
,
vv
r
Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøèòü ýòó çàäà÷ó
â ÈÑÎ Áåðåã. Ïðè ýòîì ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òàê
íàçûâàåìîé òåîðåìîé êîñèíóñîâ, ââåäÿ âñïîìîãàòåëüíîå âðåìÿ
äâèæåíèÿ. Çàòåì ìèíèìèçèðóÿ êîðíè ïîëó÷àþùåãîñÿ
êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, íàéäåì èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Ðåøåíèå
î÷åíü ñëîæíîå, áîëüøå ìàòåìàòè÷åñêîå, ÷åì ôèçè÷åñêîå. Ïîýòîìó
âîñïîëüçóåìñÿ âîçìîæíîñòüþ âûáîðà äðóãîé ðàâíîïðàâíîé (ïî
ðåçóëüòàòàì) ÈÑÎ.
Ñâÿæåì íà÷àëî äðóãîé ÈÑÎ ñ îäíèì èç êîðàáëåé, íàïðèìåð, ñ
ïåðâûì. Òîãäà â ÈÑÎ 1-é êîðàáëü ýòîò êîðàáëü áóäåò íåïîäâèæ-
íûì, à âòîðîé áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ
12
vvv
rr
−=
, êîòîðàÿ
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ÒÑÑ. Â ÑÎ 1-é êîðàáëü âòîðîé êîðàáëü áóäåò
äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé ÂÄ (ðèñ.3). Òåïåðü íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà îï-
ðåäåëèòü êðàò÷àéøåå
ðàññòîÿíèå ìåæäó êîðàáëÿ-
ìè: îíî ðàâíî äëèíå ïåðïåí-
äèêóëÿðà ÀÑ, îïóùåííîãî
èç ìåñòîïîëîæåíèÿ 1-ãî êî-
ðàáëÿ (ò. À) íà íàïðàâëåíèå
äâèæåíèÿ 2-ãî êîðàáëÿ. À
òàê êàê äëèíà â êëàññè÷å-
ñêîé ôèçèêå ÿâëÿåòñÿ âåëè-
÷èíîé àáñîëþòíîé, òî è â ÈÑÎ Áåðåã ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó êî-
ðàáëÿìè áóäåò íàèìåíüøèì. Åñëè ÷åðòåæ ïîñòðîåí â îïðåäåëåííîì
ìàñøòàáå, òî òàêîå ðåøåíèå ìîæåò äàòü íå òîëüêî êà÷åñòâåííûé,
íî è êîëè÷åñòâåííûé îòâåò.
Çàäà÷à ¹3
Äâà âåëîñèïåäèñòà åäóò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. Îäèí, èìåÿ
ñêîðîñòü 18 êì/÷, ïîäíèìàåòñÿ â ãîðó ñ óñêîðåíèåì 20 ñì/ñ
2
,
äðóãîé, èìåÿ ñêîðîñòü 5,4 êì/÷, ñïóñêàåòñÿ ñ ãîðû ñ óñêîðåíèåì
0,2 ì/ñ
2
. ×åðåç ñêîëüêî âðåìåíè îíè âñòðåòÿòñÿ, è êàêîå
ðàññòîÿíèå ïðîåäåò êàæäûé äî âñòðå÷è, åñëè ìåæäó íèìè â
íà÷àëüíûé ìîìåíò áûëî 130 ì?
Íàéòè
21
,,
llt
Ðåøåíèå
Äàíî
ìl
÷êìv
÷êìv
ññìa
ññìa
130
,/4,5
,/18
,/2,0
,/20
2
1
2
2
2
1
=
=
=
=
−=
Ñòàíäàðòíîå ðåøåíèå ìîæíî ïðîâåñòè â ÈÑÎ Çåìëÿ.
Íóæíî ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ êàæäîãî âåëîñè-
ïåäèñòà, ó÷åñòü, ÷òî
21
lll +=
, è ðåøèòü êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
îòíîñèòåëüíî
t
, çàòåì ðàññ÷èòàòü
1
l
è /
2
.
Íî ôèçè÷åñêè èíòåðåñíåå ðàññìîòðåòü ðåøåíèå â ÑÎ 1-é
âåëîñèïåäèñò. È õîòÿ ñàì 1-é âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ óñêîðåííî
â ÈÑÎ Çåìëÿ, íî â ñâîåé ÑÎ îí íåïîäâèæåí. Âòîðîé æå
âåëîñèïåäèñò â ýòîé ÑÎ äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî, òàê êàê ïî óñëîâèþ
çàäà÷è åãî óñêîðåíèå ðàâíî è îäíî íàïðàâëåííî ñ óñêîðåíèåì 1-
ãî âåëîñèïåäèñòà â ÑÎ Çåìëÿ. Òàêèì îáðàçîì, áëàãîäàðÿ
âûáîðó ÑÎ, óäàëîñü áîëåå ñëîæíîå ðàâíîïåðåìåííîå äâèæåíèå
âåëîñèïåäèñòîâ ñâåñòè ê íåñðàâíåííî áîëåå ïðîñòîìó
ðàâíîìåðíîìó äâèæåíèþ. Â ÑÎ 1-é âåëîñèïåäèñò âòîðîé
âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
()
21
vv
+
, ÷òî ñëåäóåò èç ÒÑÑ.
Âåëîñèïåäèñòîâ ðàçäåëÿåò ðàññòîÿíèå â 130 ì (äëèíà
èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà!). Ýòîò ïóòü 2-é âåëîñèïåäèñò ïðîéäåò çà
âðåìÿ:
Ðèñ.3.
À
Ñ
D
B
1
v
r
2
v
r
v
r
1
v
r
−
Çàäà÷à ¹2. Çàäà÷à ¹3
Íà÷àëüíûå ïîëîæåíèÿ è âåêòîðû ñêîðîñòåé äâóõ êîðàáëåé Äâà âåëîñèïåäèñòà åäóò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. Îäèí, èìåÿ
(ñàìîëåòîâ, ëþäåé è ò.ä.) çàäàíû ãðàôè÷åñêè. Êîðàáëè äâèæóòñÿ ñêîðîñòü 18 êì/÷, ïîäíèìàåòñÿ â ãîðó ñ óñêîðåíèåì 20 ñì/ñ2,
ðàâíîìåðíî. Êàêèì áóäåò íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè? äðóãîé, èìåÿ ñêîðîñòü 5,4 êì/÷, ñïóñêàåòñÿ ñ ãîðû ñ óñêîðåíèåì
Íàéòè: lmin Ðåøåíèå. 0,2 ì/ñ 2 . ×åðåç ñêîëüêî âðåìåíè îíè âñòðåòÿòñÿ, è êàêîå
r ðàññòîÿíèå ïðîåäåò êàæäûé äî âñòðå÷è, åñëè ìåæäó íèìè â
Äàíî: v1 , v1 íà÷àëüíûé ìîìåíò áûëî 130 ì?
r
v2 , v2
Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøèòü ýòó çàäà÷ó Íàéòè t , l1 , l 2 Ðåøåíèå
â ÈÑÎ Áåðåã. Ïðè ýòîì ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òàê
íàçûâàåìîé òåîðåìîé êîñèíóñîâ, ââåäÿ âñïîìîãàòåëüíîå âðåìÿ a1 = −20 ñì / ñ 2 ,
äâèæåíèÿ. Çàòåì ìèíèìèçèðóÿ êîðíè ïîëó÷àþùåãîñÿ a 2 = 0,2 ñì / ñ 2 ,
êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, íàéäåì èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Ðåøåíèå v1 = 18êì / ÷ ,
î÷åíü ñëîæíîå, áîëüøå ìàòåìàòè÷åñêîå, ÷åì ôèçè÷åñêîå. Ïîýòîìó Äàíî
v 2 = 5,4 êì / ÷,
âîñïîëüçóåìñÿ âîçìîæíîñòüþ âûáîðà äðóãîé ðàâíîïðàâíîé (ïî
ðåçóëüòàòàì) ÈÑÎ. l = 130 ì
Ñâÿæåì íà÷àëî äðóãîé ÈÑÎ ñ îäíèì èç êîðàáëåé, íàïðèìåð, ñ
ïåðâûì. Òîãäà â ÈÑÎ 1-é êîðàáëü ýòîò êîðàáëü áóäåò íåïîäâèæ- Ñòàíäàðòíîå ðåøåíèå ìîæíî ïðîâåñòè â ÈÑÎ Çåìëÿ.
r r
íûì, à âòîðîé áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = v 2 − v1 , êîòîðàÿ Íóæíî ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ êàæäîãî âåëîñè-
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ÒÑÑ.  ÑÎ 1-é êîðàáëü âòîðîé êîðàáëü áóäåò ïåäèñòà, ó÷åñòü, ÷òî l = l1 + l 2 , è ðåøèòü êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé ÂÄ (ðèñ.3). Òåïåðü íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà îï- îòíîñèòåëüíî t , çàòåì ðàññ÷èòàòü l1 è /2.
ðåäåëèòü êðàò÷àéøåå
r Íî ôèçè÷åñêè èíòåðåñíåå ðàññìîòðåòü ðåøåíèå â ÑÎ 1-é
v1 ðàññòîÿíèå ìåæäó êîðàáëÿ-
âåëîñèïåäèñò. È õîòÿ ñàì 1-é âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ óñêîðåííî
ìè: îíî ðàâíî äëèíå ïåðïåí-
â ÈÑÎ Çåìëÿ, íî â ñâîåé ÑÎ îí íåïîäâèæåí. Âòîðîé æå
À r äèêóëÿðà ÀÑ, îïóùåííîãî
v2 âåëîñèïåäèñò â ýòîé ÑÎ äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî, òàê êàê ïî óñëîâèþ
èç ìåñòîïîëîæåíèÿ 1-ãî êî-
çàäà÷è åãî óñêîðåíèå ðàâíî è îäíî íàïðàâëåííî ñ óñêîðåíèåì 1-
ðàáëÿ (ò. À) íà íàïðàâëåíèå
r ãî âåëîñèïåäèñòà â ÑÎ Çåìëÿ. Òàêèì îáðàçîì, áëàãîäàðÿ
D Ñ v B äâèæåíèÿ 2-ãî êîðàáëÿ. À âûáîðó ÑÎ, óäàëîñü áîëåå ñëîæíîå ðàâíîïåðåìåííîå äâèæåíèå
r òàê êàê äëèíà â êëàññè÷å-
Ðèñ.3. − v1 âåëîñèïåäèñòîâ ñâåñòè ê íåñðàâíåííî áîëåå ïðîñòîìó
ñêîé ôèçèêå ÿâëÿåòñÿ âåëè-
ðàâíîìåðíîìó äâèæåíèþ. Â ÑÎ 1-é âåëîñèïåäèñò âòîðîé
÷èíîé àáñîëþòíîé, òî è â ÈÑÎ Áåðåã ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó êî-
ðàáëÿìè áóäåò íàèìåíüøèì. Åñëè ÷åðòåæ ïîñòðîåí â îïðåäåëåííîì âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ (v1 + v 2 ) , ÷òî ñëåäóåò èç ÒÑÑ.
ìàñøòàáå, òî òàêîå ðåøåíèå ìîæåò äàòü íå òîëüêî êà÷åñòâåííûé, Âåëîñèïåäèñòîâ ðàçäåëÿåò ðàññòîÿíèå â 130 ì (äëèíà
íî è êîëè÷åñòâåííûé îòâåò. èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà!). Ýòîò ïóòü 2-é âåëîñèïåäèñò ïðîéäåò çà
âðåìÿ:
22 23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
