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Îïèðàÿñü íà ïîñòóëàòû, Ýéíøòåéí âûâîäèò íîâûå ôîðìóëû
ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé
ÈÑÎ, äâèæóùåéñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîé ñî ñêîðîñòüþ v:
;
/1
22
cv
vtx
x
−
−
=
′
y = y ; z = z ;
.
/1
22
2
cv
c
vx
t
t
−
−
=
′
(2.1)
Èç ýòèõ ôîðìóë, íàçûâàåìûõ ôîðìóëàìè Ëîðåíöà, ñëåäóåò
íå òîëüêî îòíîñèòåëüíîñòü êîîðäèíàò, íî è âðåìåíè, ýòî
ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ÑÒÎ.
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
1
<<
c
v
ñîîòíîøåíèÿ (2.1) ïåðåõîäÿò
â èçâåñòíûå êëàññè÷åñêèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è
âðåìåíè - ôîðìóëû Ãàëèëåÿ:
õ=õ - vt ; y= y ; z=z ; t=t. (2.2)
×åòâåðòàÿ ôîðìóëà Ãàëèëåÿ óòâåðæäàåò, ÷òî âðåìÿ âî âñåõ
ÈÑÎ òå÷åò îäèíàêîâî, ò.å. õîä âðåìåíè àáñîëþòåí, àáñîëþòíû
âðåìåííûå ïðîìåæóòêè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî â ÑÒÎ (ñì. 4-þ
ôîðìóëó Ëîðåíöà!).
Óñëîâèå
1
<<
c
v
îïðåäåëÿåò ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè
êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé.  ýòîì ïðîÿâëÿåòñÿ îäèí èç
âàæíåéøèõ ïðèíöèïîâ ñîâðåìåííîé ôèçèêè -ïðèíöèï
ñîîòâåòñòâèÿ: âñÿêàÿ áîëåå îáùàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ âêëþ÷àåò â
ñåáÿ ïðåäøåñòâóþùóþ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé.
Èç ôîðìóë (2.1) ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ, ïîêàçûâàþùèå
îòíîñèòåëüíîñòü äëèíû è ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè:
22
0
/1
cvll −=
;
22
0
/1
cv
t
t
−
∆
=∆
, (2.3)
ãäå âåëè÷èíû, èìåþùèå èíäåêñ î, èçìåðåíû â òîé ÈÑÎ, â
êîòîðîé ïðåäìåò è ÷àñû íåïîäâèæíû; âåëè÷èíû l è t èçìåðåíû èç
òîé ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé òåëî è ÷àñû äâèæóòñÿ. Âåëè÷èíû
l
0
è
0
t∆
ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíûìè, èíâàðèàíòíûìè âåëè÷èíàìè â
ÑÒÎ. Íåâåðíî ðàñõîæåå óòâåðæäåíèå, ÷òî ÑÒÎ âñå ñäåëàëà
îòíîñèòåëüíûì. Íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, â
êîòîðîé íåò àáñîëþòíûõ, èíâàðèàíòíûõ âåëè÷èí. Èìåííî òàêèå
âåëè÷èíû îïðåäåëÿþò íå÷òî, ÷òî íå èçìåíèòñÿ äàæå ïîñëå
óòî÷íåíèÿ òåîðèè. Íà èíâàðèàíòàõ áàçèðóåòñÿ îñíîâíîå
ñîäåðæàíèå è ÑÒÎ. Òàêîé èíâàðèàíòíîé (àáñîëþòíîé,
îäèíàêîâîé) âî âñåõ ÈÑÎ âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è ñêîðîñòü
ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (ñâåòà) â âàêóóìå.
Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå èíâàðèàíòàìè ÑÒÎ, â íåé
ââîäÿòñÿ è íîâûå èíâàðèàíòíûå âåëè÷èíû. Îäíîé èç òàêèõ
âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë, êîòîðûé ñâÿçûâàåò ïðîñòðàíñòâåííûå
è âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè äâóõ ðàçíîìåñòíûõ è
ðàçíîâðåìåííûõ ñîáûòèé (îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ñàìè ýòè
õàðàêòåðèñòèêè - îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû!). Èíòåðâàë ââîäèòñÿ
ïðè ïîìîùè ñëåäóþùåãî âûðàæåíèÿ:
S
2
= (x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
+ (z
2
- z
1
)
2
- c
2
(t
2
- t
1
)
2
, (2.4)
ãäå èíäåêñû 1,2 îòíîñÿòñÿ ê äâóì ðàññìàòðèâàåìûì ñîáûòèÿì.
Äëÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ñîáûòèé ôîðìóëà (2.4) çàïèøåòñÿ
òàê:
ds
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
- c
2
dt
2
. (2.5)
Ñîâîêóïíîñòü ÷åòûðåõ âåëè÷èí x,y,z,t îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå
ñîáûòèÿ â åäèíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè - ìèðîâóþ òî÷êó. Ìû
ãîâîðèì î åäèíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, òàê êàê èçìåíèëîñü
ñîäåðæàíèå âðåìåíè, ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóë (2.1), ãäå âèäíà òåñíàÿ
ñâÿçü ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.  ÑÒÎ ãîâîðÿò î ÷åòûðåõ-ìåðíîñòè
ìèðà, èìåÿ â âèäó, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ ñîáûòèÿ íåîáõîäèìî çàäàíèå
âñåõ ÷åòûðåõ âåëè÷èí õ,ó,z è t. Áëàãîäàðÿ èçìåíåíèþ õîòÿ áû
îäíîé èç ýòèõ âåëè÷èí, ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ
ìèðîâîé òî÷êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå ìèðîâîé òî÷êè ñîáûòèÿ
ñîñòàâëÿåò ìèðîâóþ òðàåêòîðèþ. Â ÑÒÎ ãîâîðÿò î
÷åòûðåõìåðíîé ãåîìåòðèè Ìèíêîâñêîãî, ïî èìåíè ó÷åíîãî,
êîòîðûé ââåë òàêèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè:
x
1
= x ; x
2
= y ; x
3
= z ; x
4
= ct (èëè x
4
= t).
 îòëè÷èå îò òðåõìåðíîé ãåîìåòðèè - ãåîìåòðèè Åâêëèäà,
êîòîðóþ íàçûâàþò ïëîñêîé (â ýòîé ãåîìåòðèè ñïðàâåäëèâà
òðåõìåðíàÿ òåîðåìà Ïèôàãîðà R
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
, ñ êîýôôèöèåíòàìè,
Îïèðàÿñü íà ïîñòóëàòû, Ýéíøòåéí âûâîäèò íîâûå ôîðìóëû îòíîñèòåëüíûì. Íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, â
ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé êîòîðîé íåò àáñîëþòíûõ, èíâàðèàíòíûõ âåëè÷èí. Èìåííî òàêèå
ÈÑÎ, äâèæóùåéñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîé ñî ñêîðîñòüþ v: âåëè÷èíû îïðåäåëÿþò íå÷òî, ÷òî íå èçìåíèòñÿ äàæå ïîñëå
vx
óòî÷íåíèÿ òåîðèè. Íà èíâàðèàíòàõ áàçèðóåòñÿ îñíîâíîå
x − vt t− ñîäåðæàíèå è ÑÒÎ. Òàêîé èíâàðèàíòíîé (àáñîëþòíîé,
x′ = ; y = y ; z = z ; t ′ = c 2 . (2.1)
1 − v2 / c2 îäèíàêîâîé) âî âñåõ ÈÑÎ âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è ñêîðîñòü
1 − v2 / c2
ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (ñâåòà) â âàêóóìå.
Èç ýòèõ ôîðìóë, íàçûâàåìûõ ôîðìóëàìè Ëîðåíöà, ñëåäóåò Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå èíâàðèàíòàìè ÑÒÎ, â íåé
íå òîëüêî îòíîñèòåëüíîñòü êîîðäèíàò, íî è âðåìåíè, ýòî ââîäÿòñÿ è íîâûå èíâàðèàíòíûå âåëè÷èíû. Îäíîé èç òàêèõ
ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ÑÒÎ. âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë, êîòîðûé ñâÿçûâàåò ïðîñòðàíñòâåííûå
v è âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè äâóõ ðàçíîìåñòíûõ è
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ << 1 ñîîòíîøåíèÿ (2.1) ïåðåõîäÿò ðàçíîâðåìåííûõ ñîáûòèé (îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ñàìè ýòè
c
â èçâåñòíûå êëàññè÷åñêèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è õàðàêòåðèñòèêè - îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû!). Èíòåðâàë ââîäèòñÿ
âðåìåíè - ôîðìóëû Ãàëèëåÿ: ïðè ïîìîùè ñëåäóþùåãî âûðàæåíèÿ:
õ=õ - vt ; y= y ; z=z ; t=t. (2.2) S2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - c2(t2 - t1)2, (2.4)
×åòâåðòàÿ ôîðìóëà Ãàëèëåÿ óòâåðæäàåò, ÷òî âðåìÿ âî âñåõ ãäå èíäåêñû 1,2 îòíîñÿòñÿ ê äâóì ðàññìàòðèâàåìûì ñîáûòèÿì.
ÈÑÎ òå÷åò îäèíàêîâî, ò.å. õîä âðåìåíè àáñîëþòåí, àáñîëþòíû Äëÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ñîáûòèé ôîðìóëà (2.4) çàïèøåòñÿ
âðåìåííûå ïðîìåæóòêè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî â ÑÒÎ (ñì. 4-þ òàê:
ôîðìóëó Ëîðåíöà!). ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 . (2.5)
Ñîâîêóïíîñòü ÷åòûðåõ âåëè÷èí x,y,z,t îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå
v ñîáûòèÿ â åäèíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè - ìèðîâóþ òî÷êó. Ìû
Óñëîâèå << 1 îïðåäåëÿåò ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè
c ãîâîðèì î åäèíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, òàê êàê èçìåíèëîñü
êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé.  ýòîì ïðîÿâëÿåòñÿ îäèí èç ñîäåðæàíèå âðåìåíè, ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóë (2.1), ãäå âèäíà òåñíàÿ
âàæíåéøèõ ïðèíöèïîâ ñîâðåìåííîé ôèçèêè -ïðèíöèï ñâÿçü ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.  ÑÒÎ ãîâîðÿò î ÷åòûðåõ-ìåðíîñòè
ñîîòâåòñòâèÿ: âñÿêàÿ áîëåå îáùàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ âêëþ÷àåò â ìèðà, èìåÿ â âèäó, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ ñîáûòèÿ íåîáõîäèìî çàäàíèå
ñåáÿ ïðåäøåñòâóþùóþ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé. âñåõ ÷åòûðåõ âåëè÷èí õ,ó,z è t. Áëàãîäàðÿ èçìåíåíèþ õîòÿ áû
Èç ôîðìóë (2.1) ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ, ïîêàçûâàþùèå îäíîé èç ýòèõ âåëè÷èí, ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ
îòíîñèòåëüíîñòü äëèíû è ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè: ìèðîâîé òî÷êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè.
∆t0 Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå ìèðîâîé òî÷êè ñîáûòèÿ
∆t =
l = l0 1 − v 2 / c 2 ; 1 − v 2 / c2
, (2.3) ñîñòàâëÿåò ìèðîâóþ òðàåêòîðèþ. Â ÑÒÎ ãîâîðÿò î
÷åòûðåõìåðíîé ãåîìåòðèè Ìèíêîâñêîãî, ïî èìåíè ó÷åíîãî,
ãäå âåëè÷èíû, èìåþùèå èíäåêñ î, èçìåðåíû â òîé ÈÑÎ, â êîòîðûé ââåë òàêèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè:
êîòîðîé ïðåäìåò è ÷àñû íåïîäâèæíû; âåëè÷èíû l è t èçìåðåíû èç x1 = x ; x2 = y ; x3 = z ; x4 = ct (èëè x4 = t).
òîé ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé òåëî è ÷àñû äâèæóòñÿ. Âåëè÷èíû  îòëè÷èå îò òðåõìåðíîé ãåîìåòðèè - ãåîìåòðèè Åâêëèäà,
l0 è ∆t0 ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíûìè, èíâàðèàíòíûìè âåëè÷èíàìè â êîòîðóþ íàçûâàþò ïëîñêîé (â ýòîé ãåîìåòðèè ñïðàâåäëèâà
ÑÒÎ. Íåâåðíî ðàñõîæåå óòâåðæäåíèå, ÷òî ÑÒÎ âñå ñäåëàëà òðåõìåðíàÿ òåîðåìà Ïèôàãîðà R2 = x2 + y2 + z2, ñ êîýôôèöèåíòàìè,
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