Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 104 стр.

                                                                           104
(атомы) среды. Это воздействие случайное, флуктуационное. Обозначим
флуктуационную силу через Х (имеется ввиду проекция на направление
оси Ох). Уравнение движения взвешенной частицы в проекции на ось Ох
запишется так:
                d2x                                  dx          dx
           m         2
                         = − f тр, х + Х = −6πrηv       + X =- α    +X ,
                dt                                   dt          dt
где коэффициент α = 6πrη.
     Умножим обе стороны уравнения движения взвешенной частицы
на х - смещение броуновской частицы и произведем усреднение выра-
жения во времени:

                    d2x    dx             dx              dx
               xm   = − αx    + xX = −α x    + xX . = −α х .
               dt 2        dt             dt              dt
     Но в силу флуктуационных, случайных воздействий молекул сре-
ды на взвешенную частицу, усредненная за достаточно большой проме-
жуток времени (большой по сравнению со временем чередования от-
дельных ударов) величина Х = 0 , так как будут появляться как поло-
жительные, так и отрицательные значения этой величины одинаково
вероятно
     Сделаем элементарные преобразования:
                                                       2        2
                             d2x
                      d ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞   ⎛ dx ⎞
                    2
                         x         =
                         ⎜ x ⎟ − ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ .
                 dt   dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠  ⎝ dt ⎠
     Мы приравняли к нулю первый член преобразованного выраже-
                       dx
ния, так как величина              x
                          не может зависеть от времени в силу слу-
                       dt
чайного характера блужданий.
     Преобразуем также выражение , оставшееся справа:

                            dx 1 dx 2
                               =      .   x
                            dt 2 dt
     Итак, уравнение движения взвешенной частицы принимает вид:
                                              2
                                          ⎛ dx ⎞   1 dx 2
                                       − m⎜ ⎟ = −α        .
                                          ⎝ dt ⎠   2 dt
     Так как