Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 117 стр.

                                                                 117
лее общая физическая теория должна при определенных условиях перехо-
дить в предшествующую теорию. Так что мы сейчас установим границы
применимости классической теоремы о равномерном распределении энер-
гии по степеням свободы.
     Действительно, если показатель степени экспоненты в формуле (86)
во много раз меньше единицы
                   hν / kT << 1 ,                            (87)
то экспоненту можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться первы-
ми двумя членами:
                                hν
                          Е ≈           = kT .
                                hν
                             1+      −1
                                kT
      Мы получили классическую теорему для средней энергии гармо-
нического осцилятора.
      Но условие (87) можно толковать двояко:
                 1. Либо hν << kT , 2. Либо kT >> hν .
      Первый подход предполагает, что энергия квантов во много раз
меньше энергии колебательных движений структурных частиц, при этом
не требуется, чтобы температура была высокой (по сравнению с “ком-
натной” температурой, для которой формировалась классическая тео-
рия). При втором же подходе предполагается, что среда находится при
высокой температуре (превышающей “комнатную” температуру), при
этом не требуется малость энергии квантов.
      Перейдем к основной задаче – устранению “ультрафиолетовой
катастрофы”. Вместо формул (80) и (81) мы должны написать:
                              ∞
                         8π     hν
                  uν =
                         c3   ∫ hν
                                      ν 2 dν .
                                                            (88)
                          0 exp    −1
                                kT
      Основной вклад в подынтегральное выражение вносит экспонен-
та, что автоматически устраняет расходимость на верхнем пределе и,
тем самым, устраняется причина “ультрафиолетовой катастрофы”.
      Покажем, что формула (88) содержит и другие законы излучения
нагретых тел.
      Одним из недостатков формулы (81) было то, что она теоретичес-
ки не подтверждала экспериментально установленный закон Стефана –
Больцмана о пропорциональности энергии излучения четвертой степе-
ни абсолютной температуре. Покажем, что формула (88) приводит к
этому закону..