Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 115 стр.

                                                                              115

                                 Формула Планка

     Для устранения “ультрафиолетовой катастрофы” Планк предпо-
ложил, что атомы (осциляторы) излучают и поглощают энергию не не-
прерывно, как это предполагалось в классической теории излучения, а
дискретно, порциями, квантами (в 1905 году Эйнштейн при объяснении
законов фотоэффекта обобщит гипотезу Планка: излученная атомами
энергия распространяется в пространстве в виде локализованных обра-
зований, получивших в 1927 году “имя” - фотоны). Порция излучения
пропорциональна частоте излучения, ее наименьшая величина равна:
                  E = hν ,                                 (82)

где коэффициент пропорциональности h впоследствии получил назва-
ние “постоянная Планка”.
     Исходя из дискретности изменения энергии осцилятора, выведем
новое выражение для средней энергии излучения. Если в классической
теории статистический интеграл являлся именно интегралом в силу не-
прерывности излучения (поглощения), то в теории Планка его необхо-
димо заменить суммой, что автоматически учтет новый характер изме-
нения энергетических состояний осцилятора:
                            ∞
                                   ⎛   E ⎞
                     Z=     ∑ exp⎜⎝ − kTn ⎟⎠,                          (83)
                             0

где
                  E n = n hν .                                         (84)
      Произведем расчет статистической суммы (83):
                ∞
                         ⎛ nhν ⎞           ⎛ hν ⎞      ⎛ 2hν ⎞
           Z=   ∑ exp⎜⎝ −      ⎟ = 1 + exp ⎜ −
                            kT ⎠
                                                ⎟ + exp⎜ −
                                           ⎝ kT ⎠      ⎝ kT ⎠
                                                             ⎟ + ...
                 0

      Но развернув статистическую сумму, мы получили сумму членов
бесконечной геометрической прогрессии, у которой первый член ao = 1,
а знаменатель прогрессии
                                   ⎛ hν ⎞
                            q = exp⎜ −  ⎟.
                                   ⎝ kT ⎠
      Известно, что сумма членов бесконечной геометрической прогрес-
сии равна a 0 / 1 − q.