Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

113
где l – длина ребра куба,
γ
β
α
,,
- углы, которые направление фронта обра-
зует с осями координат,
321
,, nnn - целые положительные числа.
Возведем соотношения (*) в квадрат и сложим:
()()
.
4
coscoscos
2
3
2
2
2
1
2
2222
nnnl ++=++
λ
γβα
Выражение, стоящее в скобках в левой стороне равенства, равно
единице (теорема стереометрии), тогда:
.
4
2
2
2
3
2
2
2
1
λ
l
nnn =++
(**)
Равенство (**) можно рассматривать как уравнение сферы в про-
странстве целых чисел
i
n с радиусом
,
22
c
ll
R
ν
λ
==
откуда
.
2
ν
d
c
l
dR =
Подсчитаем, сколько стоячих волн возникает в интервале частот
от
ν
до
.
ν
ν
d+
Единичный объем в пространстве целых чисел
i
n по-
лучается, если каждое из этих чисел изменить на единицу. Будем счи-
тать, что стоячих волн с указанным интервалом частот будет столько,
сколько единичных объемов содержится в шаровом слое dR (это следу-
ет из того, что каждый набор чисел
i
n , отличающихся друг от друга на
единицу, соответствует одной стоячей волне):
.
4
8
24
44
3
23
2
22
2
ν
νπ
ν
ν
ππ
ν
d
c
l
d
c
l
c
l
dRRdn ===
Однако, нас интересуют только те стоячие волны, которые соот-
ветствуют целым положительным значениям чисел
i
n , которые распо-
ложены только в одном октанте координатной системы, начало кото-
рой совмещено с центром сферы. Вместе с тем учтем, что в любом на-
правлении могут распространятся две электромагнитные волны, плос-
кости поляризации которых взаимно перпендикулярны.
Итак, окончательно для числа стоячих волн в 1/8 сферического слоя
получаем:
                                                                             113

где l – длина ребра куба, α , β , γ - углы, которые направление фронта обра-
зует с осями координат, n1 , n 2 , n3 - целые положительные числа.
      Возведем соотношения (*) в квадрат и сложим:

                 (
              l 2 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =
                                       4
                                                     )   λ2
                                         n12 + n 22 + n32 .   (   )
     Выражение, стоящее в скобках в левой стороне равенства, равно
единице (теорема стереометрии), тогда:
                                          4l 2
                     n12 + n 22 + n32 =          .                    (**)
                                          λ2
     Равенство (**) можно рассматривать как уравнение сферы в про-
странстве целых чисел ni с радиусом
                                          2l         2lν
                                  R=           =         ,
                                          λ           c
откуда
                                 2l
                                    dν .
                                   dR =
                                  c
      Подсчитаем, сколько стоячих волн возникает в интервале частот
от ν до ν + dν . Единичный объем в пространстве целых чисел ni по-
лучается, если каждое из этих чисел изменить на единицу. Будем счи-
тать, что стоячих волн с указанным интервалом частот будет столько,
сколько единичных объемов содержится в шаровом слое dR (это следу-
ет из того, что каждый набор чисел ni , отличающихся друг от друга на
единицу, соответствует одной стоячей волне):
                              4l 2ν 2 2l        4π l 3ν 2
              dnν = 4πR 2 dR = 4π 2
                                         dν = 8           dν .
                                c     c           c3
     Однако, нас интересуют только те стоячие волны, которые соот-
ветствуют целым положительным значениям чисел ni , которые распо-
ложены только в одном октанте координатной системы, начало кото-
рой совмещено с центром сферы. Вместе с тем учтем, что в любом на-
правлении могут распространятся две электромагнитные волны, плос-
кости поляризации которых взаимно перпендикулярны.
     Итак, окончательно для числа стоячих волн в 1/8 сферического слоя
получаем:

Страницы