Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 116 стр.

                                                                                          116
     Итак,
                            ∞
                                   ⎛ nhν ⎞         1
                       Z=   ∑ exp⎜⎝ −    ⎟=
                                      kT ⎠          ⎛ hν   ⎞
                                                               .
                            0               1 − exp ⎜ −    ⎟                       (85)
                                                    ⎝ kT   ⎠
     Далее воспользуемся формулой для расчета среднего значения энер-
гии (35*). Мы ее получили, когда статистический интеграл представ-
лялся именно интегралом. Но можно показать, что полученная форму-
ла справедлива и при Z, взятом в виде суммы(83):
                                 ∂
                       E = Θ2      ln Z .                                          (35*)
                                ∂Θ
     Составим
                                ⎡              E ⎞⎤
                       lnZ=- ln ⎢1 − exp ⎛⎜ −    ⎟⎥.
                                ⎣         ⎝   kT ⎠⎦
     Далее от этого выражения возьмем производную по статистичес-
кой температуре :

              ∂           ∂ ⎡         ⎛ E ⎞⎤               1
                ln Z = −      1 − exp ⎜ − ⎟ ⎥ = −                              ⋅
             ∂Θ          ∂Θ ⎢⎣        ⎝ Θ ⎠⎦                ⎛ E            ⎞
                                                    1 − exp ⎜ −            ⎟
                                                            ⎝ kT           ⎠
                  ∂ ⎡       ⎛ E ⎞⎤                  1
             ⋅      ⎢1 − exp⎜ − ⎟⎥ == (− 1)(− 1)                       ⋅
                 ∂Θ ⎣       ⎝ Θ ⎠⎦                   ⎛ E           ⎞
                                             1 − exp ⎜ −           ⎟
                                                     ⎝ kT          ⎠
                  ⎛   E ⎞ ∂ ⎛  h ν ⎞  h ν ⎛     h ν     ⎞
             ⋅ exp⎜ −   ⎟   ⎜−     ⎟=     ⎜ exp     − 1⎟.
                  ⎝ kT ⎠ ∂Θ ⎝ Θ ⎠ Θ 2 ⎝         kT      ⎠

     Итак,
                          hν
                       E=
                          hν
                      exp    −1 .                         (86)
                          kT
     Формула (86) носит имя формулы Планка. Эта формула является
квантовым аналогом классической теоремы о равномерном распреде-
лении энергии по степеням свободы.
     Прежде чем устранять “ультрафиолетовую катастрофу”, проверим
выполнимость принципа соответствия, согласно которому всякая бо-