Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 131 стр.

                                                                                       131

                      E −μ
                    exp     >> 1,                          (103)
                        Θ
то, пренебрегая единицей в знаменателе формулы (102), получаем:
           1            1          μ     ⎛ E⎞                ⎛ E⎞
                  ≈          = exp ⋅ exp ⎜ − ⎟ = Const ⋅ exp ⎜ − ⎟,
         E−μ            E−μ        Θ     ⎝  Θ⎠               ⎝ Θ⎠
     exp       ± 1 exp
           Θ              Θ
а это и есть распределение Гиббса. Принцип соответствия выполняется.
                                       Е−μ
Условие (103) может быть записано и так      >>0, или, учитывая, что
                                         Θ
Θ >0, получаем, что условием перехода к статистике Гиббса является
неравенство (Е − μ ) >>0. В случае бозонов, для которых μ ≤ 0 , это ус-
ловие выполняется автоматически всегда. Ниже будет установлено, что
для фермионов μ > 0, и нам нужно будет уточнить условие выполни-
мости принципа соответствия.
     Условие (103) называется условием не вырождения, идеальный газ
является классическим. Если же условие (103) не выполняется, то иде-
альный газ называется вырожденным, чисто квантовым.
     Получим условие не вырождения идеального газа в другом представ-
лении. Для квантовых статистик мы получили следующее выражение:
                                       gn
                          Nn =                  ,
                                      En − μ
                                  exp        ±1
                                       kT
где коэффициент g n будет учитывать число фазовых ячеек, в которых
могут разместиться квантовые частицы.
     Переходя к классическим частицам, как и выше, пренебрежем еди-
ницей в знаменателе и подсчитаем полное число частиц нашей системы:
                                  μ − En            μ               ⎛   E ⎞
         N=   ∑ N n = ∑ g n exp    kT
                                           = exp
                                                    kT
                                                         ∑ g n exp⎜⎝ − kTn ⎟⎠.
              n

     Снова получим условие не вырождения:

                                                ⎛   E ⎞
                        ⎛ μ ⎞
                                   ∑ g n exp⎜⎝ − kTn ⎟⎠
                    exp ⎜ −  ⎟=                             >> 1.                (*)
                        ⎝ kT ⎠              N