Составители:
Рубрика:
Глава 4. Проверка статистических гипотез
должно быть небольшим. А.Н. Колмогоров доказал, что в слу-
чае простой гипотезы (т.е. параметры F (x) заданы, а не оцене-
ны по выборке) распределение D
n
не зависит от вида ф.р. F (x).
Распределение с.в. D
n
называется распределением Колмогоро-
ва. Для малых n рассчитаны таблицы процентных точек (см.
таблицу 8.1 Приложения D), а для больших (n > 100) можно
пользоваться предельным распределением Колмогорова.
17.4 Предельное распределение Колмогорова и его
свойства
Напомним приведенную в п. 2.3 теорему 2.4:
Теорема 17.3 (Колмогоров). Если выборка получена из гене-
ральной совокупности с непрерывной ф.р. F (x), то распределе-
ние статистики D
n
не зависит от F (x) и для статистики
K
n
=
√
nD
n
при x > 0 справедливо предельное соотношение
lim
n→∞
P{K
n
≤ x} = K(x) = 1 + 2
∞
X
k=1
(−1)
k
e
−2k
2
x
2
, (17.6)
Доказательство см. в [14], т.2, с.605-610.
Ряд в формуле (17.6) сходится медленно при малых x и
очень быстро при больших. Для x > 1 достаточно вычислить
4 слагаемых. При x = 0 ряд расходится, но, поскольку ста-
тистика K
n
по определению неотрицательна, можно положить
K(0) = 0.
Почленное дифференцирование (17.6) даст нам формулу
плотности предельного распределения Колмогорова (см. так-
же рис. 17.3):
k(x) = −8x
∞
X
k=1
(−1)
k
k
2
e
−2k
2
x
2
. (17.7)
151
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- …
- следующая ›
- последняя »
