ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. 1
1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ............................................ 5
1.1. Эллиптические уравнения........................................................................... 6
1.1.1. Уравнение Лапласа................................................................................ 6
1.1.2. Уравнение Пуассона.............................................................................. 9
1.2. Параболические уравнения ....................................................................... 11
1.2.1. Уравнение теплопроводности........................................................... 12
1.2.1. Уравнения непрерывности ................................................................. 13
1.3. Гиперболические уравнения ..................................................................... 15
1.3.1. Волновое уравнение ............................................................................. 15
1.4. Системы дифференциальных уравнений в частных производных....... 16
1.4.1. Фундаментальная система уравнений ............................................. 17
1.4.2. Нормировка.......................................................................................... 18
1.4.3. Базисы переменных ............................................................................. 20
2. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.................................................. 22
2.1. Граничные условия .................................................................................... 23
2.2. Начальные условия .................................................................................... 25
3. МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
............................................ 25
3.1. Метод конечных разностей ....................................................................... 26
3.1.1. Конечно-разностные сетки ............................................................... 26
3.1.2. Сеточные функции, конечные разности и шаблоны....................... 27
3.2. Метод конечных элементов ...................................................................... 31
3.2.1. Разбиение Дирихле и триангуляция Делоне...................................... 31
3.2.2. Метод интегральных тождеств...................................................... 37
4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ..... 39
4.1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений .......... 39
4.1.1. Метод исключения Гаусса ................................................................. 40
4.1.2. Метод LU-разложения....................................................................... 42
4.1.3. Итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений
.................................................................. 44
4.2. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений ...... 55
4.2.1. Итерация неподвижной точки ......................................................... 56
4.2.2. Метод Ньютона-Рафсона ................................................................. 61
5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В
СИСТЕМЕ MATLAB
........................................................................................ 66
5.1. Примеры решения уравнения Пуассона .................................................. 66
5.1.1. Решение одномерного уравнения Пуассона методом
конечных разностей
............................................................................ 67
5.1.2. Решение двухмерного уравнения Пуассона методом конечных
разностей
............................................................................................. 73
5.1.3. Решение двухмерного уравнения Пуассона методом конечных
элементов
............................................................................................ 83
