Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

5
1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Разработка и исследование значительной части элементов современных
СБИС и МОЭМС связана с решением так называемых задач математической
физики (или сокращенно – матфизики), к которым относятся задачи теплопро-
водности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении
жидкости, о распределении плотности электрического тока в проводящей сре-
де, задачи о деформациях твердых тел и многие другие.
Подобные задачи описываются дифференциальными уравнениями в част-
ных производных с дополнительными уравнениями, выражающими граничные
и начальные условия. В учебном пособии рассматриваются ДУ в частных про-
изводных не выше второго порядка, поскольку эти уравнения охватывают дос-
таточно широкий диапазон физических явлений, положенных в основу функ-
ционирования элементов СБИС и МОЭМС и, кроме того, рассмотренные ниже
методы решения применимы и к ДУ в частных производных более высоких по-
рядков. В общем случае линейное дифференциальное уравнение в частных
производных второго порядка с n независимыми переменными имеет вид
()
)()()(
11,
2
xx
x
x f
u
C
x
u
B
xx
u
A
nn
=++
∑
∂
∂
∑
∂∂
∂
==
α
α
α
βα
βα
αβ
, (1)
где x = [x
1
, x
2
, … x
n
] – вектор (матрица-строка) независимых переменных
1
; u –
искомая функция независимых переменных; A
αβ
(x), B
α
(x), C(x), f(x) – некоторые
вещественные функции независимых переменных [1, 2].
Уравнение (1) всегда может быть приведено к одной из трех стандартных
канонических форм. По соотношению значений A
αβ
(x) уравнения относят к эл-
липтическим, параболическим или гиперболическим в точке x. В частности,
для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с
двумя независимыми переменными x, y, которые могут быть представлены в
виде
),(),(),(),(
),(),(),(
2
22
2
2
yxf
u
yxC
y
u
yx
B
x
u
yx
B
y
u
yx
A
y
x
u
yx
A
x
u
yx
A
yx
yyxyxx
=+++
+++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, (2)
тип ДУ определяется знаком выражения, называемого дискриминантом
),(),(
4
),(),(
2
yx
A
yx
A
yx
A
yxD
yyxxxy
−= . (3)
Если D(x, y) < 0, дифференциальное уравнение является эллиптическим в
точке (x, y).
Если D(x, y) = 0, дифференциальное уравнение является параболическим в
точке (x, y).
1
В дальнейшем по тексту векторные величины и матрицы будут выделяться жирным шрифтом.

Страницы