Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

6
Если D(x, y) > 0, дифференциальное уравнение является гиперболическим
в точке (x, y).
Если коэффициенты A
xx
, A
xy
, A
yy
постоянные и значение D не зависит от x,
y, то в зависимости от знака D уравнение является полностью эллиптическим,
гиперболическим или параболическим [1].
1.1. Эллиптические уравнения
Рассмотрим некоторые задачи матфизики, приводящие к решению эллип-
тических уравнений.
1.1.1. Уравнение Лапласа
Многие стационарные, т.е. не изменяющиеся во времени физические про-
цессы описываются уравнениями эллиптического типа, в простейшем случае
(однородной среды и отсутствия источников) – уравнением Лапласа [2], кото-
рое для трех направлений координат (x, y, z) может быть записано в виде:
0
2
2
2
2
2
2
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
u
y
u
x
u
, (4)
где u = u(x, y, z) – искомая функция координат.
В операторной форме уравнение Лапласа (4) может быть представлено
следующим образом:
0
=
∆u
, (5)
где
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=
2
2
2
2
2
2
∆
- оператор Лапласа.
Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объ-
еме V, ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства
X = (x, y, z).
Процесс теплопроводности или кондукции определяется законом Фурье,
согласно которому вектор плотности теплового потока W пропорционален гра-
диенту температуры Т = Т(x, y, z) [1]:
)(Tgradk⋅
−=
W
, (6)
где k = k(x, y, z) – коэффициент теплопроводности.
Плотность теплового потока равна количеству теплоты, протекающему в
единицу времени через единичную площадь изотермической поверхности [1].
Как правило, цель стационарной задачи теплопроводности сводится к не-
обходимости нахождения зависимости температуры от координат
(x, y, z) при известном распределении плотности источников тепла f(x, y, z). По-
скольку функция f(x, y, z) не входит непосредственно в уравнение Фурье (6),
необходимо выполнить ряд предварительных преобразований.
Из приведенного выше определения плотности теплового потока следует,
что суммарное количество тепла Q
S
, прошедшее в единицу времени через замк-

Страницы