Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

8
z
v
y
v
x
v
div
z
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=
)(v
, (16)
где v
x
, v
y
, v
z
- проекции вектора v на соответствующие оси координат, уравнение
(14) можно переписать в частных производных
0
2
2
2
2
2
2
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
T
y
T
x
T
(17)
или в операторной форме
0
=
∆T
, (18)
то есть в виде уравнения Лапласа.
Процессы диффузии вещества во многом аналогичны процессам тепло-
проводности. При описании диффузии аналогом закона Фурье является закон
Нернста, согласно которому вектор плотности потока вещества W пропорцио-
нален градиенту концентрации N = N(x, y, z) [1]:
)(NgradD⋅
−=
W
, (19)
где D = D(x, y, z) – коэффициент диффузии.
Плотность потока вещества равна количеству частиц вещества (атомов,
молекул), диффундирующему в единицу времени через единичную площадь
поверхности.
Подставляя выражение (19) в уравнение (12), при отсутствии источников
диффундирующего вещества ( f(x, y, z) = 0) и однородной среде (D(x, y, z) =
const) получим уравнение Лапласа в векторной форме
0
))((
=
Ngraddiv
, (20)
в частных производных
0
2
2
2
2
2
2
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
N
y
N
x
N
(21)
и в операторной форме
0
=
∆N
. (22)
К уравнению Лапласа приводят и многие другие задачи, например, задача
о распределении электростатического поля в однородной непроводящей среде в
отсутствие электрических зарядов.
В общем виде данная задача описывается уравнениями Максвелла
0
)(
=
Erot
; (23)
ε
ρ
ε
0
),,(
)
),,(
(
zyx
zyx
div
=
E
, (24)
где E = E(x, y, z) – вектор напряженности электрического поля;
ρ
=
ρ
(x, y, z) –
объемная плотность электрических зарядов;
ε
=
ε
(x, y, z) – диэлектрическая

Страницы