Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

7
нутую поверхность S, ограничивающую объем V, в общем случае выражается
интегралом
∫∫
⋅
=
S
Q
S
dSW
, (7)
где dS – вектор, модуль которого численно равен площади dS соответствующе-
го бесконечно малого элемента поверхности, а направление совпадает с на-
правлением нормали к этому элементу; W⋅dS = W⋅dS⋅cos(γ) – скалярное произ-
ведение векторов W и dS; γ - угол между ними.
Суммарное количество тепла Q
V
, выделяющегося в единицу времени в
объеме V, ограниченном поверхностью S, определяется интегралом
∫∫∫
=
V
dV
zyxfQ
V
),,(
. (8)
Очевидно, в данном случае уравнение баланса тепла должно отражать
факт равенства количества тепла Q
S
, прошедшего в единицу времени через
замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, и количества тепла Q
V
,
выделяющегося в единицу времени в этом объеме:
∫∫∫∫∫
⋅
=
VS
dV
zyxf ),,(
dSW
. (9)
Согласно теореме Остроградского-Гаусса
∫∫∫∫∫
⋅
=
VS
dVdivWdSW
. (10)
Тогда, подставив (10) в (9), получим
∫∫∫∫∫∫
=
VV
dV
zyxf
dVdiv
),,(
W
; (11)
),,( zyxf
div
=
W
. (12)
Подставив в уравнение (12) закон Фурье (6), получим уравнение для ста-
ционарной задачи теплопроводности в векторной форме
),,())(),,(( zyxfTgradzyxkdiv
−=
⋅
. (13)
Если источники тепла отсутствуют (f(x, y, z) = 0) и среда однородна
(k(x, y, z) = const), уравнение (13) можно переписать в виде
0
))((
=
Tgraddiv
. (14)
Учитывая, что по определению градиент некоторого скалярного поля
u = u(x, y, z) определяется выражением
eee
x zy
z
u
y
u
x
u
ugrad
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=
)(
, (15)
где e
x
, e
y
, e
z
– единичные вектора (орты) в направлениях соответствующих ко-
ординатных осей, а дивергенция некоторого векторного поля v = v(x, y, z) – вы-
ражением

Страницы