Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

9
проницаемость среды;
ε
0
– электрическая постоянная. Уравнение (23) выражает
отсутствие вихревых электрических полей.
Если непроводящая среда однородна (
ε
(x, y, z) = const) и электрические за-
ряды в объеме отсутствуют или уравновешены (
ρ
(x, y, z) = 0), уравнение (24)
принимает вид
0
)(
=
Ediv
. (25)
Поскольку напряженность электрического поля E связана с электрическим
потенциалом
ϕ
равенством [1, 4]
)(
ϕ
grad−
=
E
, (26)
то, подставляя (26) в (25) и учитывая выражения (5), (15) и (16), получим урав-
нение Лапласа в векторной форме
0
))((
=
ϕ
graddiv
, (27)
в частных производных
0
2
2
2
2
2
2
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
zyx
ϕϕϕ
(28)
и в операторной форме
0
=
∆
ϕ
. (29)
1.1.2. Уравнение Пуассона
В общем случае в векторной форме уравнение Пуассона имеет вид [1, 4]
),,())(),,(( zyxfugradzyxAdiv
=
⋅
, (30)
где u = u(x, y, z) – искомая функция; A(x, y, z), f(x, y, z) – некоторые функции не-
зависимых переменных.
Уравнение (30) может быть записано в частных производных как
),,(),,(),,(),,( zyxf
z
u
zyxA
z
y
u
zyxA
y
x
u
zyxA
x
=
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, (31)
или в операторной форме как
()
),,(
),,(
zyxf
uzyxA
=
∇⋅
∇
, (32)
где ∇ - оператор Наббла, определяемый выражением
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇
++=
. (33)
Из выражений (30) – (32) видно, что уравнение Пуассона является обоб-
щением уравнения Лапласа для случая отличной от нуля правой части. Пока-
жем это на примерах, приведенных выше.

Страницы