Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

10
Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объ-
еме V, ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства
X = (x, y, z), которая в векторной форме описывается уравнением (13).
При наличии в объеме V источников тепла (f(x, y, z) ≠ 0) и в случае неодно-
родной среды (k = k(x, y, z)), уравнение (13) в частных производных можно пе-
реписать в виде
),,(),,(),,(),,( zyxf
z
T
zyxk
z
y
T
zyxk
y
x
T
zyxk
x
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
+
, (34)
или в операторной форме
()
),,(
),,(
zyxf
Tzyxk
−
∇⋅
∇
=
. (35)
Если среда однородна (k(x, y, z) = const), то k можно вынести за знак част-
ной производной в выражении (34) или за знак оператора Наббла в выражении
(35). В результате получим частный случай уравнения Пуассона в виде
),,(
),,(
2
2
2
2
2
2
zyxk
zyxf
z
T
y
T
x
T
−=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, (36)
или в операторной форме
),,(
),,(
zyxk
zyxf
T
−=
∆
. (37)
Если среда анизотропна, т.е. коэффициент теплопроводности k зависит от
направления распространения тепла и является тензором
=
kkk
kkk
kkk
333231
232221
131211
k
, (38)
то уравнение (34) преобразуется к виду [1]
),,(
321
3
1,
xxx
f
x
T
k
x
ji
j
ij
i
=
∑
∂
∂
∂
∂
=
, (39)
где пространство (x
1
, x
2
, x
3
) соответствует (x, y, z).
Если в тензоре k только элементы главной диагонали отличны от нуля
(k
ij
= 0 для i
≠
j), то уравнение (39) может быть записано в виде
),,(
332211
zyxf
z
T
k
z
y
T
k
y
x
T
k
x
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
+
. (40)
Процессы диффузии при наличии источников диффундирующего вещества
(f(x, y, z) ≠ 0) и в случае неоднородной среды (D = D(x, y, z)) описываются урав-
нением Пуассона в векторной форме
),,())(),,(( zyxfNgradzyxDdiv
=
⋅
, (41)

Страницы