Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

12
1.2.1. Уравнение теплопроводности
Многие нестационарные, т.е. изменяющиеся во времени физические про-
цессы описываются уравнениями параболического типа. Рассмотрим в качестве
примера нестационарное уравнение теплопроводности, которое является более
общим случаем уравнения (35) и получается на основании закона Фурье (6) в
результате следующих рассуждений.
Рассмотрим задачу о нестационарном распределении тепла в некотором
объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства
X = (x, y, z).
Количество тепла q
V
, выделившегося в объеме V, ограниченном поверхно-
стью S, за некоторый промежуток времени dt, можно определить как
dt
Qq
VV
=
, (51)
где Q
V
– суммарное количество тепла, выделяющегося в единицу времени в
объеме V, ограниченном поверхностью S, определяемое интегралом (8).
Учитывая, что рассматривается неравновесное состояние системы, часть
тепла q
T
< q
V
идет на изменение во времени температуры в объеме V и опреде-
ляется выражением
dT
qq
T
=
, (52)
где q – суммарное количество тепла, необходимого для изменения температуры
объема V на один градус; dT – изменение температуры объема V за промежуток
времени dt.
Остальная часть тепла q
S
протекает через ограничивающую поверхность
площадью S:
dt
Qq
SS
=
, (53)
где Q
S
– суммарное количество тепла, протекающего в единицу времени через
поверхность S, определяемое интегралом (7).
Иными словами, в нестационарном случае должно быть справедливо урав-
нение
dt
Q
dt
Q
dT
q
VS
=+
. (54)
Учитывая, что в общем случае неоднородной среды суммарное количество
тепла q, необходимого для изменения температуры объема V на один градус
определяется выражением
∫∫∫
=
V
dV
zyxCzyxq ),,(),,(
ρ
, (55)
где
ρ
(x, y, z) – плотность вещества; С(x, y, z) – удельная теплоемкость вещества,
подставляя выражения (55), (7), (8) в уравнение (54) и применяя теорему Остро-
градского-Гаусса (10), получим
dtdV
zyxf
dtdVdivdTdV
zyxCzyx
VVV
=
+
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
),,(),,(),,(
W
ρ
, (56)

Страницы