ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
),(
y
x
f
z
=
),(
y
x
M
0
x
y
z
z
x
y0
C
Функции многих переменных – естественное обобщение функций одной
переменной. Мы рассмотрим основы дифференциального исчисления функций
двух переменных. Почему двух, а не трех или большего числа переменных? Во-
первых, принципиального различия между двумя и большим числом перемен-
ных нет, увеличение числа переменных ведет лишь к громоздкости выкладок.
Во-вторых, случай двух переменных
допускает наглядную геометрическую ин-
терпретацию.
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Вводные понятия. Пусть дано множество
2
R
D
⊂
, и пусть указано
правило, по которому каждой точке
D
y
x
∈
),( соответствует некоторое число
R
z
∈ . В этом случае говорят, что задана функция ),(
y
x
f
z
=
с областью опре-
деления
D
и областью значений
RF ⊂
. При этом
x
и y называют независи-
мыми переменными (аргументами)
, а
z
– зависимой переменной (функцией).
Функцию
),(
y
x
f
z
=
часто записывают в виде «
R
D
f
→:
». Схематично
функция может быть изображена так, как это показано на рис. 1.
Рис.1.
Пример. На множестве }1:),{(
222
≤+∈= yxRyxD определим функцию
22
2 yxz ++=
; тогда ее областью значений является
отрезок
]3,2[=
F
. Эту функцию можно определить,
конечно, и на всей плоскости
2
R
; в этом случае имеем
2
R
D
=
и
),2[
∞
=
F
.
Графиком функции ),(
y
x
f
z
=
называют множе-
ство точек
3
)),(,,( Ryxfyx ∈
; обычно графиком являет-
ся некоторая поверхность (рис. 2).
При построении графика функции часто поль-
зуются
методом сечений.
Пример
. Построить график функции
22
yxz +=
и
найти
D
. Рис.2.
Δ
Воспользуемся методом сечений.
x
y
0
D
x
y
2
R
0
R
z
F
3
Функции многих переменных – естественное обобщение функций одной
переменной. Мы рассмотрим основы дифференциального исчисления функций
двух переменных. Почему двух, а не трех или большего числа переменных? Во-
первых, принципиального различия между двумя и большим числом перемен-
ных нет, увеличение числа переменных ведет лишь к громоздкости выкладок.
Во-вторых, случай двух переменных допускает наглядную геометрическую ин-
терпретацию.
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Вводные понятия. Пусть дано множество D ⊂ R 2 , и пусть указано
правило, по которому каждой точке ( x, y ) ∈ D соответствует некоторое число
z ∈ R . В этом случае говорят, что задана функция z = f ( x, y ) с областью опре-
деления D и областью значений F ⊂ R . При этом x и y называют независи-
мыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).
Функцию z = f ( x, y ) часто записывают в виде « f : D → R ». Схематично
функция может быть изображена так, как это показано на рис. 1.
y R2
D
y
R
0 x x 0 z F
Рис.1.
Пример. На множестве D = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} определим функцию
z = 2 + x 2 + y 2 ; тогда ее областью значений является z
отрезок F = [2, 3] . Эту функцию можно определить,
z = f (x, y)
конечно, и на всей плоскости R 2 ; в этом случае имеем
D = R 2 и F = [2, ∞) .
Графиком функции z = f ( x, y ) называют множе-
ство точек ( x, y, f ( x, y )) ∈ R 3 ; обычно графиком являет-
ся некоторая поверхность (рис. 2).
0 z y
При построении графика функции часто поль-
зуются методом сечений. M(x, y)
x
Пример. Построить график функции z = x 2 + y 2 и
найти D . Рис.2. C
Δ Воспользуемся методом сечений.
0 y
x
