Функции многих переменных. Саакян Г.Р. - 4 стр.

                                                4


⎧z = x 2 + y 2
⎨              ⇒   z = y 2 – в плоскости Oyz – парабола.
⎩ x = 0
⎧z = x 2 + y 2
⎨              ⇒   z = x 2 – в плоскости O x z –парабола.
⎩ y = 0
⎧z = x 2 + y 2
⎨              ⇒ x 2 + y 2 = C – в плоскости C x y – окружность.
⎩z = C > 0
Искомая поверхность – параболоид вращения (рис. 3). ▲            Рис.3.
      Расстоянием между двумя произвольными точками M 1 ( x1 , y1 )                и
                                                2
M 2 ( x2 , y 2 ) (евклидова) пространства R называется число
                        ρ ( M 1 , M 2 ) = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 .
Множество точек {M ∈ R 2 : ρ ( M , A) < r} называется открытым кругом радиуса
r с центром в точке A , {M ∈ R 2 : ρ ( M , A) = r} – окружностью радиуса r с цен-
тром в точке A .
        Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется ε -
окрестностью точки A .
        Определение. Точка A называется внутренней точкой
множества G , если существует ε -окрестность U ε (A)                         ε
точки A , целиком принадлежащая множеству G (т.е.                        A
U ε ( A) ⊂ G ) (рис. 4).
        Определение. Точка A называется граничной
точкой множества G , если в любой ее ε -окрестности                             G
содержатся точки, как принадлежащие множеству G , так и не
принадлежащие ему (рис. 5).                                                 Рис.4.
        Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству,
так и не принадлежать ему.
        Определение. Множество G называется откры- A
тым, если все его точки – внутренние.                             ε
        Определение. Множество G называется замк-
нутым, если оно содержит все свои граничные точки.
Множество всех граничных точек множества G
                                                                               G
называется его границей (и часто обозначается символом
∂G ). Заметим, что множество G = G ∪ ∂G является замкнутым и
называется замыканием множества G .                                          Рис.5.
                                      2    2                          2    2
        Пример. Если K = {( x, y ) : x + y < 1} , то K = {( x, y ) : x + y ≤ 1} . При
этом ∂K = {( x, y ) : x 2 + y 2 = 1} . Покажите это!
     Определение. Точка A называется предельной точкой множества G , если
в любой ε -окрестности точки A содержатся точки множества G , отличные от
A.