Функции многих переменных. Саакян Г.Р. - 5 стр.

                                                  5

      Образно говоря, точка A называется предельной точкой множества G ,
если «к точке A можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества
G и не наступая на саму точку A ». Предельная точка множества может при-
надлежать, а может не принадлежать этому множеству.
      Пример. Множество G = {( x, y ) : x 2 + y 2 = 1} совпадает с множеством сво-
их предельных точек. Множество F = {( x, y ) : x = 1 / n, y = 1 / m, где n, m ∈ N } име-
ет единственную предельную точку (0; 0) ∉ F . Покажите это!
      2. Предел функции.
      Определение. Будем говорить, что последовательность точек ( xn , y n ) ∈ R 2
сходится при n → ∞ к точке (a, b) ∈ R 2 , если ( xn − a ) 2 + ( y n − b) 2 → 0 при
n→∞ .
     В этом случае точку (a, b) называют пределом указанной последователь-
ности и пишут: ( xn , y n ) → (a, b) при n → ∞ .
     Легко показать, что ( xn , y n ) → (a, b) тогда и только тогда, когда одновре-
менно xn → a , y n → b (т.е. сходимость последовательности точек пространства
R 2 эквивалентна покоординатной сходимости).
         Пусть f : D → R и ( x0 , y0 ) – предельная точка множества D .
         Определение. Число A называют пределом функции z = f ( x, y ) при
( x, y ) → ( x0 , y0 ) , если для ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что | f ( x, y ) − A |< ε , как только
0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ . В этом случае пишут
              lim f ( x, y ) = A или         f ( x, y ) → A при ( x, y ) → ( x0 , y0 ) .
               x → x0
               y → y0
     При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух
переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции од-
ной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно
равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от
предельной точки x0 . Для функции двух переменных стремление к предельной
точке ( x0 , y0 ) на плоскости R 2 может происходить по бесконечному числу на-
правлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования
предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению
с функцией одной переменной.
                             x− y
     Пример. Найти lim             .
                         x→0 x + y
                            y →0
Δ Пусть стремление к предельной точке (0; 0) происходит по прямой y = k x .
Тогда

                                         x − k x 1− k
                                   lim          =          (k ≠ −1) .
                                   x→0   x + k x 1+ k