Функции многих переменных. Саакян Г.Р. - 7 стр.

                                              7

                                                            ⎛               ⎞
2) lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) , т.е. lim f ( x, y ) = f ⎜ lim ( x, y ) ⎟⎟ .
                                                            ⎜
     x → x0                              x → x0             ⎜ xy → x0       ⎟
     y → y0                              y → y0             ⎝ → y0          ⎠
         Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С
этой целью обозначим Δ x = x − x0 , Δy = y − y0 и Δ z = f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) .
         Определение. Говорят, что функция z = f ( x, y ) непрерывна в точке
( x0 , y0 ) , если выполняется равенство
                                                lim Δ z = 0 .
                                     Δ x →0
                                     Δ y →0
       Теорема 2. Если функции f ( x, y ) и g ( x, y ) непрерывны в точке ( x0 , y0 ) ,
то этим же свойством обладают функции f ± g , f ⋅ g , а если g ( x0 , y0 ) ≠ 0 ,
то и функция f .
                g
       Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как
функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непре-
рывности в точке требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему
(либо с некоторой своей δ -окрестностью, либо как его граничная точка).
       Определение. Множество D ⊂ R 2 называется областью, если оно:
1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с
некоторой своей δ -окрестностью; 2) является линейно связным множеством,
т.е. для любых двух различных точек M 1 , M 2 ∈ D существует ломаная, соеди-
няющая M 1 и M 2 и целиком лежащая в D .
       Если D – область, то множество D называют замкнутой областью.
       Определение. Говорят, что функция f непрерывна в области D (или в
замкнутой области D ), если f непрерывна в каждой точке этого множества.
       4. Непрерывность по отдельным переменным. Зафиксируем перемен-
ную y , полагая y = y0 , а переменной x придадим произвольное приращение
Δ x . Функция z = f ( x, y ) получит приращение
                            Δ x z = f ( x0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) ,
которое называется частным приращением функции в точке ( x0 , y0 ) , соответ-
ствующим приращению Δ x аргумента x . Заметим, что Δ x z является функцией
одной переменной Δ x . Аналогично,
                            Δ y z = f ( x0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) .
         Определение. Функция z = f ( x, y ) называется непрерывной в точке
( x0 , y0 ) по переменной x (по переменной y ), если
                              lim Δ x z = 0 ( lim Δ y z = 0 ).
                             Δ x→0                Δ y →0
     В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непре-
рывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности пере-
менных.