Функции многих переменных. Саакян Г.Р. - 8 стр.

                                       8

      Теорема 3. Если функция z = f ( x, y ) определена в некоторой окрестно-
сти точки ( x0 , y0 ) и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точ-
ке по каждой из переменных.
      Обратное утверждение неверно.
      Пример. Докажем, что функция
                                        ⎧ xy                  2     2
                                        ⎪ x 2 + y 2 , если x + y ≠ 0;
                       z = f ( x, y ) = ⎨
                                        ⎪0 ,          если x 2 + y 2 = 0
                                        ⎩
непрерывна в точке O (0, 0) по каждой переменной x и y , но не является не-
прерывной в этой точке по совокупности переменных.
Δ Рассмотрим частное приращение функции f ( x, y ) в точке O (0, 0) , соответ-
ствующее приращению Δ x аргумента x :
                          Δ x z = f (Δ x, 0) − f (0, 0) = 0 − 0 = 0 .
Очевидно, что lim Δ x z = 0 , а это означает, что f ( x, y ) непрерывна в точке
                Δ x →0
O (0, 0) по переменной x .
       Аналогично можно доказать непрерывность f ( x, y ) в точке O (0, 0) по
переменной y .
                                 xy
       Покажем, что предел lim 2       не существует. Пусть точка M ( x, y )
                           x→0 x + y 2
                           y →0
стремиться к точке O (0, 0) по прямой y = k x , проходящей через точку O . То-
гда получим
                             xy           k x2           k
                     lim          = lim 2           =         .
                    x→0 x2 + y 2    x→0 x + k 2 x 2   1 + k 2
                    y →0
                         ( y = k x)

      Таким образом, приближаясь к точке O (0, 0) по различным прямым, со-
ответствующим разным значениям k , получаем разные предельные значения.
Отсюда следует, что предел данной функции в точке O (0, 0) не существует, а
значит, функция f ( x, y ) не является непрерывной в этой точке. ▲

 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ
      1. Частные производные первого порядка. Пусть функция z = f ( x, y )
определена в области D и ( x0 , y0 ) ∈ D . Тогда при малых | Δ x | определено ее
частное приращение по x : Δ x z = f ( x0 + Δ x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) .
      Определение. Частной производной функции f ( x, y ) по переменной x в
точке ( x0 , y0 ) называют предел
                             Δ z       f ( x0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
                        lim x = lim                                           ,
                       Δ x→0 Δ x Δ x→0                Δx
если он существует.