Функции многих переменных. Саакян Г.Р. - 10 стр.

                                         10


          3. Дифференцируемость функции. Пусть f : D(⊂ R 2 ) → R . Составим
полное приращение функции z = f ( x, y ) в точке ( x, y ) ∈ D :
                            Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x, y ) .
          Определение. Функция z = f ( x, y ) называется дифференцируемой в точке
( x, y ) , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
                                     Δ z = A Δ x + B Δ y + o( ρ ) ,               (1)
                                    o( ρ )
где A и B – некоторые числа,               → 0 при ρ → 0 , ρ = (Δx) 2 + (Δy ) 2 .
                                  ρ
      Другими словами, функция z = f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) ,
если ее приращение Δ z эквивалентно функции A Δ x + B Δ y : Δ z ~ A Δ x + B Δ y
при ρ → 0 . Выражение A Δ x + B Δ y в этом случае представляет собой главную
часть приращения Δ z , линейно зависящую от Δ x и Δ y .
      Определение. Если функция z = f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) ,
то главную линейную часть A Δ x + B Δ y ее приращения Δ z называют полным
дифференциалом в точке ( x, y ) и обозначают в виде
                                dz = A Δ x + B Δ y .
      Для независимых переменных x и y полагают Δ x = dx и Δ y = dy . По-
этому полный дифференциал записывают также в виде
                                 dz = A dx + B dy .
      Формула (1) показывает, что, как и в случае функции одной переменной,
верна
      Теорема 5. Если функция f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) , то она
непрерывна в этой точке.
      Обратное утверждение неверно, т.е. непрерывность является только не-
обходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. По-
кажем это.
      Пример. Δ Найдем частные производные функции z = x 2 + y 2 :
                     ∂z       x     ∂z       y
                        =         ,    =         .
                     ∂x     2
                           x +y 2   ∂y    x + y2
                                           2

Полученные формулы теряют смысл в точке O (0, 0) .
      Можно показать иначе, что функция f ( x, y ) = x 2 + y 2 не имеет частных
производных в точке O (0, 0) . В самом деле, f ( x,0) = x 2 =| x | . Эта функция од-
ной переменной x , как известно, не имеет производной в точке x = 0 . Послед-
                                          ∂z
нее и означает, что частная производная       в точке O не существует. Анало-
                                          ∂x