ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12
S
; )),(,,(
y
x
f
y
x
N
– произвольная (текущая) точка поверхности
S
;
1
N –
основание перпендикуляра, проведенного из точки
N
к плоскости P (рис. 6).
Рис. 6.
Определение. Плоскость P , проходящая через точку
0
N поверхности
S
,
называется касательной плоскостью к поверхности
S
в этой точке, если при
0
NN → (
S
N
∈ ) величина ),(
1
NN
ρ
является бесконечно малой более высокого
порядка, чем
),(
0
NN
ρ
, т.е. 0
),(
),(
lim
0
1
0
=
∈
→
NN
NN
SN
NN
ρ
ρ
.
Теорема 8
. Если функция ),(
y
x
f
z
=
дифференцируема в точке
),(
000
yxM, то в точке )),(,,(
00000
yxfyxN существует касательная плос-
кость к поверхности
S
(графику этой функции), причем уравнение касатель-
ной плоскости имеет вид
0)),(())(())((
000000
=−−−
∂
∂
+−
∂
∂
yxfzyyM
y
z
xxM
x
z
.
Вектор
n
нормали к касательной плоскости, т.е.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
∂
∂
∂
∂
=
1),(),(
00
M
y
z
M
x
z
n
, называется вектором нормали (или нормалью) к по-
верхности
S
в точке
)),(,,(
00000
yxfyxN
.
Пример
. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду
22
yxz +=
в точке
)5,2,1(
0
N
и найти нормаль к параболоиду в этой точке.
x
y
z
O
n
S
P
0
N
N
1
N
),(
000
yxM
),( y
x
M
12
S ; N ( x, y, f ( x, y )) – произвольная (текущая) точка поверхности S ; N1 –
основание перпендикуляра, проведенного из точки N к плоскости P (рис. 6).
Рис. 6.
Определение. Плоскость P , проходящая через точку N 0 поверхности S ,
z
n
S
N P
N0
N1
O y
M 0 ( x0 , y0 )
M ( x, y )
x
называется касательной плоскостью к поверхности S в этой точке, если при
N → N 0 ( N ∈ S ) величина ρ ( N , N 1 ) является бесконечно малой более высокого
ρ ( N , N1 )
порядка, чем ρ ( N , N 0 ) , т.е. lim =0.
N → N0 ρ ( N , N )
N ∈S 0
Теорема 8. Если функция z = f ( x, y ) дифференцируема в точке
M 0 ( x0 , y0 ) , то в точке N 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) существует касательная плос-
кость к поверхности S (графику этой функции), причем уравнение касатель-
ной плоскости имеет вид
∂z ∂z
( M 0 )( x − x0 ) + ( M 0 )( y − y0 ) − ( z − f ( x0 , y0 )) = 0 .
∂x ∂y
Вектор n нормали к касательной плоскости, т.е.
⎧ ∂z ∂z ⎫
n = ⎨ ( M 0 ), ( M 0 ), − 1⎬ , называется вектором нормали (или нормалью) к по-
⎩ ∂x ∂y ⎭
верхности S в точке N 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) .
Пример. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду
z = x + y 2 в точке N 0 (1, 2, 5) и найти нормаль к параболоиду в этой точке.
2
