Функции многих переменных. Саакян Г.Р. - 11 стр.

                                            11

                                                 ∂z
гично, не существует частная производная            . При этом функция z = x 2 + y 2 ,
                                                 ∂y
очевидно, непрерывна в точке O (0, 0) . ▲
         Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных
производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и су-
ществованием частных производных.
         4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных
производных. Напомним, что для функции одной переменной y = f ( x) суще-
ствование производной в точке является необходимым и достаточным услови-
ем дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих перемен-
ных дифференцируемость и существование частных производных не являются
эквивалентными свойствами функции.
         Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция
z = f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y ) , то она имеет в точке M част-
ные производные по каждой переменной x и y .
                       ∂z                ∂z
         При этом          (M ) = A ,       ( M ) = B , где A и B – числа из равенства (1).
                       ∂x                ∂y
Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде
                                            ∂z       ∂z
                                     Δ z = Δ x + Δ y + o( ρ ) ,
                                            ∂x       ∂y
а полный дифференциал функции – в виде
                                                 ∂z       ∂z
                                          d z = dx + dy .
                                                 ∂x       ∂y
         Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных не
является достаточным условием дифференцируемости функции.
         Теорема 7 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция
z = f ( x, y ) имеет непрерывные частные производные f x′ и f y′ в точке M ( x, y ) ,
то она дифференцируема в точке M (и ее полный дифференциал в этой точке
выражается формулой dz = f x′ dx + f y′ dy ).
         Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность частных производных яв-
ляется только достаточным, но не необходимым условием дифференцируемо-
сти функции.
         5. Геометрический смысл дифференцируемости функции. Напомним,
что для функции одной переменной y = f (x) из дифференцируемости функции
в точке x0 следует существование касательной к графику функции в точке
M ( x0 , f ( x0 )) .
         Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных z = f ( x, y ) ,
( x, y ) ∈ G .       График          этой        функции,      т.е.   множество      точек
S = {( x, y, f ( x, y )), ( x, y ) ∈ G} , представляет собой поверхность в пространстве
R 3 . Пусть плоскость P проходит через точку N 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) поверхности