ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13
Δ Пусть
)2,1(
0
M
– точка на плоскости
Oxy
. Так как x
x
z
2=
∂
∂
,
y
y
z
2=
∂
∂
, то
2)(
0
=
∂
∂
M
x
z
,
4)(
0
=
∂
∂
M
y
z
. Учитывая также, что
5)(
0
=
Mz
, получаем искомое
уравнение касательной плоскости:
0)5()2(4)1(2
=
−
−
−
+
−
z
y
x
, или 0542 =
−
−
+
z
y
x
.
Вектор
}1,4,2{ −=n
является нормалью к параболоиду в точке
0
N
. ▲
6. Дифференцирование сложных функций.
Теорема 9. Пусть ),(
y
x
f
z
=
– функция, дифференцируемая в точке
D
y
x
∈),( , )(t
x
ϕ
= и )(t
y
ψ
= – дифференцируемые функции независимой пере-
менной t. Тогда производная сложной функции ))(),(()( tt
f
tF
z
ψ
ϕ
=
=
вычисля-
ется по формуле
)())(),(()())(),(()( tttftttftF
yx
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
′
′
+
′
′
=
′
или (в другой форме записи)
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz
∂
∂
+
∂
∂
=
. (2)
Формулу (2) можно распространить на случай, когда
x
и y – функции
двух переменных ),( vu
x
ϕ
=
, ),( vu
y
ψ
= :
u
y
y
f
u
x
x
f
u
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
,
v
y
y
f
v
x
x
f
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
. (3)
Пример
. Найти
dt
dz
, если
2
xyz =
,
1
2
+= t
x
,
ty cos
=
. По формуле (2) име-
ем
tttttxyty
dt
dz
2sin)1(cos2)sin(22
222
+−=−+= .
Пример
. Найти
u
z
∂
∂
и
v
z
∂
∂
, если
y
x
z
ln
=
,
v
u
x
= ,
22
vuy += . По формулам
(3) имеем
y
xv
v
yu
v
z
y
xu
v
y
u
z 2ln
,
2ln
2
+−=
∂
∂
+=
∂
∂
.
В эти выражения следует подставить
v
u
x
= ,
22
vuy +=
.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Пусть
R
D
f
→:
, где
D
– область в
2
R
, и
Dyx
∈
),(
00
.
Определение
. Говорят, что функция
),(
y
x
f
z
=
имеет в точке
),(
000
yxM
локальный максимум (минимум), если существует
ε
-окрестность этой точки та-
кая, что для каждой точки ),(
y
x
M
из этой окрестности выполняется неравенст-
во
),(),(
00
yxfyxf
≤
(
),(),(
00
yxfyxf ≥
).
13
∂z ∂z
Δ Пусть M 0 (1, 2) – точка на плоскости Oxy . Так как = 2x , = 2 y , то
∂x ∂y
∂z ∂z
(M 0 ) = 2 , ( M 0 ) = 4 . Учитывая также, что z ( M 0 ) = 5 , получаем искомое
∂x ∂y
уравнение касательной плоскости:
2( x − 1) + 4( y − 2) − ( z − 5) = 0 , или 2 x + 4 y − z − 5 = 0 .
Вектор n = {2, 4, − 1} является нормалью к параболоиду в точке N 0 . ▲
6. Дифференцирование сложных функций.
Теорема 9. Пусть z = f ( x, y ) – функция, дифференцируемая в точке
( x, y ) ∈ D , x = ϕ (t ) и y = ψ (t ) – дифференцируемые функции независимой пере-
менной t . Тогда производная сложной функции z = F (t ) = f (ϕ (t ),ψ (t )) вычисля-
ется по формуле
F ′(t ) = f x′ (ϕ (t ),ψ (t ))ϕ ′(t ) + f y′ (ϕ (t ),ψ (t ))ψ ′(t )
или (в другой форме записи)
dz ∂f dx ∂f dy
= + . (2)
dt ∂x dt ∂y dt
Формулу (2) можно распространить на случай, когда x и y – функции
двух переменных x = ϕ (u, v) , y = ψ (u, v) :
∂z ∂f ∂x ∂f ∂y ∂z ∂f ∂x ∂f ∂y
= + , = + . (3)
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
dz
Пример. Найти , если z = xy 2 , x = t 2 + 1 , y = cos t . По формуле (2) име-
dt
ем
dz
= y 2 2t + 2 xy (− sin t ) = 2t cos 2 t − (t 2 + 1) sin 2t .
dt
∂z ∂z u
Пример. Найти и , если z = x ln y , x = , y = u 2 + v 2 . По формулам
∂u ∂v v
(3) имеем
∂z ln y 2 xu ∂z u ln y 2 xv
= + , =− 2 + .
∂u v y ∂v v y
u
В эти выражения следует подставить x = , y = u 2 + v 2 .
v
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Пусть f : D → R , где D – область в R 2 , и ( x0 , y0 ) ∈ D .
Определение. Говорят, что функция z = f ( x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y0 )
локальный максимум (минимум), если существует ε -окрестность этой точки та-
кая, что для каждой точки M ( x, y ) из этой окрестности выполняется неравенст-
во
f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y 0 ) ( f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 ) ).
