Функции многих переменных. Саакян Г.Р. - 9 стр.

                                            9

     Частную производную по x обозначают одним из следующих символов:
                                                   ∂ z ( x0 , y 0 ) ∂ f ( x0 , y 0 )
               z ′x ( x0 , y0 ), f x′ ( x0 , y0 ),                 ,                 .
                                                        ∂x               ∂x
Аналогично определяется частная производная по y и вводятся ее обозначе-
ния.
     Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной
переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные
производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных
функций одной переменной.
                                                                  2
      Пример. Найти частные производные функции z = e x y .
Δ Имеем:
           ∂z       2                       2      ∂z       2                       2
               = e x y ( x 2 y )′x = 2 xye x y ,       = e x y ( x 2 y )′y = x 2 e x y . ▲
           ∂x                                      ∂y
      2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные
             ∂ f ( x, y )      ∂ f ( x, y )
производные                и                как функции от ( x, y ) ∈ D , приходим к поня-
                ∂x                 ∂y
тиям частных производных второго порядка. А именно, выражения
                          ∂2 f       ∂ ⎛∂ f ⎞       ∂2 f      ∂ ⎛∂ f ⎞
                                  =     ⎜      ⎟ ,        =       ⎜        ⎟
                          ∂ x 2 ∂ x ⎜⎝ ∂ x ⎟⎠       ∂ y 2 ∂ y ⎜⎝ ∂ y ⎟⎠
называют частными производными второго порядка функции f ( x, y ) по x и
по y соответственно, а выражения
                     ∂2 f    ∂ ⎛∂ f ⎞             ∂2 f       ∂ ⎛∂ f ⎞
                          =    ⎜⎜     ⎟⎟ ,               =     ⎜    ⎟
                    ∂ x∂ y ∂ y ⎝ ∂ x ⎠         ∂ y ∂ x ∂ x ⎜⎝ ∂ y ⎟⎠
– смешанными частными производными второго порядка функции f ( x, y ) . Их
обозначают также символами: z ′xx′ , z ′yy
                                        ′ , z ′xy′ и z ′yx
                                                         ′ . Аналогично определяют ча-
стные производные 3-го порядка (их будет 8=2 ), 4-го порядка (их будет 16=24 )
                                                       3

и т.д.
       Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) функция
                                                     ∂2 f     ∂2 f
z = f ( x, y ) имеет смешанные частные производные         и        , причем
                                                    ∂ x∂ y   ∂ y∂ x
эти производные непрерывны в точке M 0 , то они равны в этой точке:
                         ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ∂ 2 f ( x0 , y 0 )
                                           =                   .
                             ∂ x∂ y             ∂ y∂ x
     Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные част-
ные производные 2-го порядка функции z = f ( x, y ) не зависят от порядка диф-
ференцирования в точке M 0 .
     Теорема 4 допускает обобщение: по индукции ее можно распространить
на любые непрерывные смешанные частные производные.