Функции многих переменных. Саакян Г.Р. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

6
Предел, очевидно, не существует, так как число
k
k
A
+
−
=
1
1
зависит от
k
. ▲
Пример
. Найти
42
2
0
0
lim
yx
xy
y
x
+
→
→
.
Δ
По любой прямой
x
k
y
= предел один и тот же:
0
1
limlim
24
2
0
442
22
0
=
+
=
+
→→
x
k
xk
x
k
x
xkx
xx
.
С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой
xy = . Тогда
(
)
()
2
1
lim
4
2
2
0
=
+
→
xx
xx
x
;
следовательно, предел не существует. ▲
Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная
точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда
∞+→
x
,
∞+→y
(остальное – по аналогии).
Определение
. Число
A
называют пределом функции
),(
y
x
f
z
=
при
∞+→
x
и
+
→y
, если для
0
>∀
ε
0
>
∃
K
такое, что из неравенств
K
x
>
и
K
y
> следует неравенство
ε
<
−
|),(| A
y
x
f
. Этот факт коротко записывают так:
Ayxf
y
x
=
∞+→
∞+→
),(lim .
Теорема 1
. Если существуют Ayxf
yy
xx
=
→
→
),(lim
0
0
и Byxg
yy
xx
=
→
→
),(lim
0
0
, то:
BAyxgyxf
yy
xx
±
=
±
→
→
)),(),((lim
0
0
;
AByxgyxf
yy
xx
=
→
→
),(),(lim
0
0
;
)0(
),(
),(
lim
0
0
≠=
→
→
Bпри
B
A
yxg
yxf
yy
xx
,
где предельная точка ),(
00
yx может быть конечной или бесконечной.
Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций од-
ной переменной.
3. Непрерывность функции. Пусть дана функция
),(
y
x
f
z
=
с областью
определения
D
и пусть
),(
00
yx
– предельная точка множества
D
.
Определение
. Говорят, что функция ),(
y
x
f
z
=
непрерывна в точке
),(
00
yx , если:
1)
Dyx ∈),(
00
; 
                                                   6

                                                                      1− k
Предел, очевидно, не существует, так как число A =                         зависит от k . ▲
                                                                      1+ k
                                 xy 2
      Пример. Найти lim                .
                       x→0
                       y →0
                               x2 + y4
Δ По любой прямой y = k x предел один и тот же:
                             x k 2 x2           k 2x
                         lim           = lim             = 0.
                       x→0 x2 + k 4 x4   x→0 1 + k 4 x 2

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой
y = x . Тогда

                                        lim
                                              x   ( x) 2
                                                                1
                                                               = ;
                                                  + ( x)
                                                           4
                                        x→0
                                       x2                       2
следовательно, предел не существует. ▲
       Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная
точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда x → + ∞ ,
 y → + ∞ (остальное – по аналогии).
       Определение. Число A называют пределом функции z = f ( x, y ) при
x → + ∞ и y → + ∞ , если для ∀ ε > 0 ∃ K > 0 такое, что из неравенств x > K и
 y > K следует неравенство | f ( x, y ) − A |< ε . Этот факт коротко записывают так:
                                   lim f ( x, y ) = A .
                                         x → +∞
                                         y → +∞

      Теорема 1. Если существуют lim f ( x, y ) = A и lim g ( x, y ) = B , то:
                                              x → x0                   x → x0
                                              y → y0                   y → y0
                              lim ( f ( x, y ) ± g ( x, y )) = A ± B ;
                              x → x0
                              y → y0
                                   lim f ( x, y ) g ( x, y ) = AB ;
                                  x → x0
                                  y → y0
                                       f ( x, y ) A
                          lim                    =  (при         B ≠ 0) ,
                          x → x0       g ( x, y ) B
                          y → y0
где предельная точка ( x0 , y0 ) может быть конечной или бесконечной.
         Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций од-
ной переменной.
         3. Непрерывность функции. Пусть дана функция z = f ( x, y ) с областью
определения D и пусть ( x0 , y0 ) – предельная точка множества D .
         Определение. Говорят, что функция z = f ( x, y ) непрерывна в точке
( x0 , y0 ) , если:
1) ( x0 , y0 ) ∈ D ;

Страницы